1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de uma solução aquosa contendo 45 \% em peso de acetona deve ser extraída a 25^{\circ} \mathrm{C} em um sistema contínuo em contracorrente simples, com 1,1,2- tricloroetano (TCE) puro a fim de obter um rafinado contendo 10 \% em acetona. Usando os dados de equilíbrio abaixo, determine:
a. A quantidade mínima de solvente;
b. O número de estágios requeridos para uma vazão de solvente 1,5 vezes a mínima e
c. A vazão e a composição das fases que deixam o 2^{\circ} estágio.

Passo 1

O enunciado e os dados explícitos que temos:
  • Vazão de alimentação: F = 1000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Composição da alimentação (fração em massa de acetona): z_F = 0{,}45.
  • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C}.
  • Solvente: 1,1,2-tricloroetano (TCE) puro (logo a composição de acetona no solvente fresco é z_S = 0).
  • Objetivo: obter um rafinado (corrente saída do sistema no lado da fase rica em água) com composição de acetona x_R = 0{,}10.
  • Sistema: extrator contínuo em contracorrente simples, estágios teóricos.
O que o enunciado pede:
(a) A quantidade mínima de solvente (vazão mínima S_{\min}).
(b) O número de estágios requeridos quando a vazão de solvente é S = 1{,}5\,S_{\min}.
(c) A vazão e a composição das fases que deixam o 2.º estágio.
Dado IMPORTANTÍSSIMO para resolver numericamente (não está presente no enunciado enviado):
  • O enunciado diz “usando os dados de equilíbrio abaixo”, porém esses dados de equilíbrio (pares de composição de equilíbrio, ou uma curva/relacionamento \,y=f(x) que relaciona a composição da acetona na fase orgânica/extrato à composição na fase aquosa/rafinado, e idealmente as tie-lines) não foram incluídos na sua mensagem.
Por que isso é crítico:
  • Em extração líquido–líquido em contracorrente, tanto o cálculo do solvente mínimo quanto a determinação do número de estágios e as composições etapa-a-etapa dependem diretamente da curva/tie-lines de equilíbrio (ou de uma expressão do tipo y=f(x) ou de coeficientes de partição). Sem esses dados é impossível obter valores numéricos corretos para (a), (b) e (c).
Observação: não vou pedir dados adicionais (conforme sua instrução), mas preciso deixar claro que, sem os dados de equilíbrio, não dá para calcular numericamente — a seguir eu explico, passo a passo e didaticamente, o método completo que devemos aplicar assim que esses dados estiverem disponíveis, e os procedimentos algébricos e gráficos necessários para cada item.

Passo 2

Definições de variáveis e equações básicas (com explicação didática):
  • F: vazão da alimentação (kg/h). Aqui F=1000.
  • S: vazão do solvente fresco (kg/h) que entra no extremo do extrator.
  • R: vazão do rafinado que sai (fase rica em água), em kg/h.
  • E: vazão do extrato que sai (fase rica em solvente), em kg/h.
  • z_F: fração em massa de acetona na alimentação (dada: 0{,}45).
  • z_S: fração em massa de acetona no solvente fresco (no caso, 0).
  • x: fração em massa de acetona na fase rafinada (fase aquosa) — usamos especialmente x_R para o rafinado final (dado: 0{,}10).
  • y: fração em massa de acetona na fase orgânica/extrato (fase rica em solvente). Em equilíbrio, y e x relacionam-se por uma curva ou tie-lines: y = f(x) (ou dados discretos (x_i,y_i)).
Equações de balanço macroscópicas (componentes e total):
  1. Balanço total de massa (estado estacionário, fluxo de entrada = fluxo de saída):
F + S = R + E.
  1. Balanço de soluto (acetona):
F z_F + S z_S = R x_R + E y_E,
onde y_E é a composição da acetona no extrato que sai do extrator (o extrato final).
Explicação da física por trás: o solvente entra sem acetona ( z_S=0), passa pelo leito com o líquido aquoso, extrai acetona e sai como extrato E com fração y_E. O fluxo de raffinado R sai com a fracção de acetona reduzida a x_R.
A partir de (1) e (2) pode-se eliminar R ou E. Uma forma útil (isolando S em função de y_E) é:
  • Da equação (1), R = F + S - E.
  • Substituindo em (2) e isolando S dá, depois de manipulação algébrica:
S = F\,\frac{z_F - x_R}{y_E - z_S}.
Comentário: esta fórmula é central: comoci encontra-se a vazão de solvente necessária para que, assumindo que o extrato final tem composição y_E, a massa de acetona removida seja suficiente para levar o rafinado a x_R. No nosso caso z_S = 0, então
S = F\,\frac{z_F - x_R}{y_E}.
Portanto, para calcular S precisamos do valor de y_E (a composição do extrato que sai em equilíbrio com o último estágio do rafinado). Esse y_E vem diretamente dos dados de equilíbrio: é o y que corresponde ao x do último estágio. Para o cálculo do solvente mínimo, esse y_E corresponde a um ponto especial (ver passo seguinte).

Passo 3

Conceito e cálculo do solvente mínimo S_{\min} (ideia física e procedimento matemático):
  • Intuição: o solvente mínimo é a menor vazão de solvente teórica que ainda permite atingir a especificação de rafinado x_R. Isso ocorre num caso limite em que o ponto de operação “roça” a curva de equilíbrio: geometricamente, no diagrama de composição (plano x vs y ou diagrama ternário), a reta operativa que liga o ponto do solvente fresco ao ponto do rafinado torna-se tangente à curva de equilíbrio. Em termos práticos: qualquer solvente menor não consegue mais extrair acetona suficiente porque a operação fica limitada pela transferência em equilíbrio.
  • Consequência útil: para obter S_{\min} precisamos achar o ponto de equilíbrio (x_t,y_t) (o ponto de tangência) tal que a reta que liga o ponto do solvente fresco (no nosso caso composição de acetona z_S=0 na fase orgânica) e o ponto (x_R) seja tangente à curva y=f(x). Em termos de equações, o tangente cumpre:
    • Está em equilíbrio: y_t = f(x_t).
    • A inclinação da curva em x_t é igual à inclinação da reta que liga (x_R,y_t) ao ponto do solvente fresco (x_S,y_S). Como o solvente fresco é puro em solvente e sem acetona, na representação típica usamos z_S=0 (ponto sobre o eixo do solvente). Em fórmula, para um sistema representado por y=f(x), a condição tangente é
f'(x_t) = \frac{f(x_t)-z_S}{x_t - x_R}.
(Atenção: a forma exata depende da convenção da projeção no plano; essa é a forma funcional da igualdade de inclinações: derivada da curva no ponto = declive da reta que passa por (x_t,f(x_t)) e (x_R,z_S).)
  • Procedimento numérico para achar o ponto de tangência x_t:
    1. Ter a função f(x) ou dados discretos (x_i,y_i) com interpolação.
    2. Formar a função residual
    g(x) = f'(x) - \frac{f(x)-z_S}{x - x_R}.
    1. Encontrar x_t tal que g(x_t)=0 (usar método numérico: Newton, secante ou busca por bisecção). Depois obter y_t=f(x_t).
  • Depois de achar y_t, calcular S_{\min} pela fórmula do Passo 2:
S_{\min} = F\,\frac{z_F - x_R}{y_t - z_S}.
No nosso caso z_S=0, então
S_{\min} = F\,\frac{z_F - x_R}{y_t}.
Observação didática: se os dados de equilíbrio forem fornecidos apenas como tie-lines discretas (x_i,y_i), uma estratégia prática é:
  • Interpolar as tie-lines para obter f(x) e estimar f'(x) numericamente, ou
  • Proceder geometricamente no diagrama ternário: traçar diversas retas ligando o ponto do solvente puro ao ponto x_R e procurar a que fica tangente à curva de equilíbrio (graficamente o ponto de tangência dá y_t), e então usar a fórmula acima.

Passo 4

Cálculo do número de estágios quando S é dado (a estratégia, sem números porque falta a curva):
  • Quando a vazão real de solvente S é maior que S_{\min} (no seu caso S = 1{,}5 S_{\min}), o processo pode ser realizado com um número finito de estágios teóricos. O número de estágios é obtido por um procedimento gráfico análogo ao método de McCabe–Thiele (usado em destilação) adaptado para extração líquido–líquido, ou por solução numérica usando balanços estágio-a-estágio.
Método gráfico (passos práticos):
  1. Desenhar a curva de equilíbrio y=f(x) no plano (x,y) (ou usar diagrama ternário).
  2. Marcar o ponto do solvente fresco (no eixo do solvente; aqui z_S=0) e o ponto do raffinado alvo x_R.
  3. Determinar a reta operativa que corresponde à vazão S (explicito abaixo como obtê-la numericamente).
  4. A partir do ponto x_R (no eixo x), traçar um passo para cima até cortar a curva de equilíbrio (encontra-se y_1); então, traçar daquele ponto sobre a reta operativa horizontal/na direção correta até cortar a linha de equilíbrio novamente; repetir “zig-zag” até atingir a composição do alimentador (ou o ponto correspondente a z_F). O número de passos equil. → operativa = número de estágios teóricos.
Forma algébrica do “operating line”:
  • Em extração contínua contracorrente, com séries de estágios idéias, é possível escrever o equilíbrio de massa global levando às equações lineares que dão a reta operativa. Uma forma prática (numérica) é resolver os balanços globais a fim de obter as vazões R e E e então usar as relações estágio-a-estágio. Em termos gerais, para cada estágio i o balanço de soluto dá:
R\,x_{i+1} + E\,y_{i-1} = R\,x_i + E\,y_i,
onde y_i = f(x_i) (equilíbrio no estágio), x_{i+1} é o raffinado que entra no estágio (vindo do estágio acima), e y_{i-1} é o extrato que entra (vindo do estágio abaixo). Com R e E conhecidos (a partir de balanços globais quando S é conhecido e quando se conhece y_E do último estágio), essa é uma relação linear que permite avançar etapa-a-etapa (num método numérico iterativo).
  • Em termos práticos: para contar estágios com S=1{,}5 S_{\min} procede-se assim:
    1. Conhecer (ou calcular) S numericamente (aqui: 1{,}5 S_{\min}).
    2. Com S conhecido, e sabendo F,z_F,z_S,x_R, e supondo que o extrato final está em equilíbrio com o raffinado final (o que é verdade), resolve-se as equações de balanço para obter E e R (isto requer o conhecimento do y_E correspondente ao x_R ou ao ponto de saída do extrato).
    3. Em seguida executa-se os passos estágio-a-estágio (diagrama zig-zag) até ver quantos estágios são necessários para que, partindo de x_R, se alcance a posição do alimentador z_F (ou ponto correspondente).
Alternativa analítica simples (caso muito especial): se a relação de equilíbrio puder ser aproximada por uma relação linear simples (distribuição constante K tal que y = K x), então existe uma fórmula analítica semelhante à equação de Kremser que dá o número de estágios N em função de S,R,K. Nesse caso o número de estágios teórico satisfaz uma relação do tipo
\left(\frac{z_F - x_R}{y_{\text{in}} - x_R}\right) = \left(\frac{K R}{S + K R}\right)^{N}
(com ajustes conforme a convenção usada). Mas essa fórmula só é aplicável quando a distribuição é aproximadamente linear (o que não costuma ser geralmente o caso em extração líquida onde existem curvas de equilíbrio não-lineares). Por isso o método gráfico ou um procedimento numérico iterativo usando a curva real é preferível e mais correto.

Passo 5

Como obter as composições e vazões que saem do 2.º estágio (procedimento detalhado para execução numérica):
  • Organização das etapas para cálculo numérico (quando se tem a curva y=f(x)\)): 1. Determinar \(S\). No caso do item (b) é \(S = 1{,}5 S_{\min}\) — então primeiro precisa-se calcular \(S_{\min}\) como em Passo 3. 2. Com \(F\) e \(S\) conhecidos e objetivo \(x_R\) fixo, use as equações globais para encontrar \(E\) e \(R\) se for possível identificar \(y_E\). Especificamente: - Se o extrato final composition \(y_E\) (em equilíbrio com \(x_R\)) é conhecido (vem da curva de equilíbrio: \(y_E = f(x_R)\)), então aplica-se: \[S = F\,\frac{z_F - x_R}{y_E - z_S},\quad\text{ou rearranjando as equações,}\quad E = \frac{F z_F + S z_S - R x_R}{y_E}.
    • Em muitos casos y_E = f(x_R) (o extrato final está em equilíbrio com o rafinado final), então pode-se usar direto y_E=f(x_R).
    1. Calcular as vazões R e E a partir das equações de balanço total e de soluto (sistema linear de duas equações e duas incógnitas).
    2. Com R e E conhecidos, realizar o cálculo estágio-a-estágio (direção do contracorrente):
      • Numerar os estágios de cima para baixo ou de baixo para cima de acordo com convenção; normalmente rotula-se o estágio mais baixo como estágio 1 (onde entra o solvente fresco) e o mais alto como estágio N (onde entra o alimentador). Mas a contagem gráfica costuma partir do x_R e avançar em direção a z_F.
      • Para cada estágio i, conhecendo a composição que entra por um dos fluxos, procede-se:
        • Usar a curva de equilíbrio para obter a composição da fase oposta em equilíbrio (se entra raffinate com x_{i+1}, em equilíbrio o extrato sai com y_i=f(x_i); graficamente: do ponto x_{i+1} sobe-se até a curva, obtém-se y_i).
        • Aplicar balanço de soluto do estágio
R\,x_{i+1} + E\,y_{i-1} = R\,x_i + E\,y_i,
onde y_i=f(x_i). Esta equação costuma ser resolvida numericamente (pois y_i depende de x_i).
- Repetir até obter as composições de saída de cada estágio. Em particular, a composição que sai do 2.º estágio (dependendo da contagem) é obtida como x_2 ou y_2 conforme a direção; a vazão é R ou E (já calculadas globalmente).
Exemplo esquemático de método numérico (passo a passo computacional):
  • Dados: F, z_F, S, z_S, x_R.
  • Calcule y_E = f(x_R) (equilíbrio no último estágio).
  • Resolva para E e R usando:
\begin{cases} F + S = R + E,\\[4pt] F z_F + S z_S = R x_R + E y_E. \end{cases}
  • Com R,E\] conhecidos, monte um loop para i = 1,2,... onde usa-se balanço estágio-a-estágio e a função \(f(x) para achar x_i,y_i. O resultado do 2.º estágio será então os pares (x_2,y_2) e as vazões R,E são as mesmas para todos os estágios (constantes no regime permanente), então a vazão que “deixa” o 2.º estágio é simplesmente R para a fase raffinate e E para a fase extract, e as composições são x_2 (raffinate de saída do 2.º) e y_2 (extract de saída do 2.º).]

Passo 6

Resumo do que é necessário para obter os números pedidos (resumindo: os dados que estão faltando e como serão usados):
  • É imprescindível ter os dados de equilíbrio a 25^\circ\mathrm{C}. Formas aceitáveis desses dados:
    • Uma função y=f(x) (fração em massa de acetona no extrato vs fração em massa na raffinado), ou
    • Uma tabela de tie-lines (x_i,y_i) representando as composições das duas fases em equilíbrio.
  • Com esses dados será possível:
    • Determinar o ponto de tangência (x_t,y_t) (resolvendo f'(x_t) = \dfrac{f(x_t)-z_S}{x_t-x_R}) e calcular S_{\min} = F\,(z_F - x_R)/y_t.
    • Com S=1{,}5 S_{\min} calcular R e E e, por procedimento gráfico ou numérico estágio-a-estágio, contar quantos estágios são necessários.
    • Fazer os balanços estágio-a-estágio e informar a vazão e composição que saem do 2.º estágio.
Encerramento motivacional: dá trabalho, mas é procedimento padrão — assim que os dados de equilíbrio estiverem disponíveis a execução é direta seguindo os passos acima; posso fazer os cálculos numéricos ou traçar o gráfico/estagios se os dados de equilíbrio forem fornecidos.

Resposta

Não é possível calcular numericamente (a) a vazão mínima de solvente, (b) o número de estágios para S=1{,}5 S_{\min} e (c) a vazão e composições na saída do 2.º estágio porque os dados de equilíbrio (x,y) a 25^\circ\mathrm{C} (curva ou tie-lines) não foram fornecidos.

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