de uma solução aquosa contendo
em peso de acetona deve ser extraída a
em um sistema contínuo em contracorrente simples, com 1,1,2- tricloroetano (TCE) puro a fim de obter um rafinado contendo
em acetona. Usando os dados de equilíbrio abaixo, determine:
a. A quantidade mínima de solvente;
b. O número de estágios requeridos para uma vazão de solvente 1,5 vezes a mínima e
c. A vazão e a composição das fases que deixam o
estágio.
a. A quantidade mínima de solvente;
b. O número de estágios requeridos para uma vazão de solvente 1,5 vezes a mínima e
c. A vazão e a composição das fases que deixam o
Passo 1
O enunciado e os dados explícitos que temos:
- Vazão de alimentação:
. - Composição da alimentação (fração em massa de acetona):
. - Temperatura:
. - Solvente: 1,1,2-tricloroetano (TCE) puro (logo a composição de acetona no solvente fresco é
). - Objetivo: obter um rafinado (corrente saída do sistema no lado da fase rica em água) com composição de acetona
. - Sistema: extrator contínuo em contracorrente simples, estágios teóricos.
O que o enunciado pede:
(a) A quantidade mínima de solvente (vazão mínima ).
(b) O número de estágios requeridos quando a vazão de solvente é .
(c) A vazão e a composição das fases que deixam o 2.º estágio.
(a) A quantidade mínima de solvente (vazão mínima
(b) O número de estágios requeridos quando a vazão de solvente é
(c) A vazão e a composição das fases que deixam o 2.º estágio.
Dado IMPORTANTÍSSIMO para resolver numericamente (não está presente no enunciado enviado):
- O enunciado diz “usando os dados de equilíbrio abaixo”, porém esses dados de equilíbrio (pares de composição de equilíbrio, ou uma curva/relacionamento
que relaciona a composição da acetona na fase orgânica/extrato à composição na fase aquosa/rafinado, e idealmente as tie-lines) não foram incluídos na sua mensagem.
Por que isso é crítico:
- Em extração líquido–líquido em contracorrente, tanto o cálculo do solvente mínimo quanto a determinação do número de estágios e as composições etapa-a-etapa dependem diretamente da curva/tie-lines de equilíbrio (ou de uma expressão do tipo
ou de coeficientes de partição). Sem esses dados é impossível obter valores numéricos corretos para (a), (b) e (c).
Observação: não vou pedir dados adicionais (conforme sua instrução), mas preciso deixar claro que, sem os dados de equilíbrio, não dá para calcular numericamente — a seguir eu explico, passo a passo e didaticamente, o método completo que devemos aplicar assim que esses dados estiverem disponíveis, e os procedimentos algébricos e gráficos necessários para cada item.
Passo 2
Definições de variáveis e equações básicas (com explicação didática):
-
: vazão da alimentação (kg/h). Aqui . -
: vazão do solvente fresco (kg/h) que entra no extremo do extrator. -
: vazão do rafinado que sai (fase rica em água), em kg/h. -
: vazão do extrato que sai (fase rica em solvente), em kg/h. -
: fração em massa de acetona na alimentação (dada: ). -
: fração em massa de acetona no solvente fresco (no caso, ). -
: fração em massa de acetona na fase rafinada (fase aquosa) — usamos especialmente para o rafinado final (dado: ). -
: fração em massa de acetona na fase orgânica/extrato (fase rica em solvente). Em equilíbrio, e relacionam-se por uma curva ou tie-lines: (ou dados discretos ).
Equações de balanço macroscópicas (componentes e total):
- Balanço total de massa (estado estacionário, fluxo de entrada = fluxo de saída):
- Balanço de soluto (acetona):
onde
é a composição da acetona no extrato que sai do extrator (o extrato final).
Explicação da física por trás: o solvente entra sem acetona (
), passa pelo leito com o líquido aquoso, extrai acetona e sai como extrato
com fração
. O fluxo de raffinado
sai com a fracção de acetona reduzida a
.
A partir de (1) e (2) pode-se eliminar
ou
. Uma forma útil (isolando
em função de
) é:
- Da equação (1),
. - Substituindo em (2) e isolando
dá, depois de manipulação algébrica:
Comentário: esta fórmula é central: comoci encontra-se a vazão de solvente necessária para que, assumindo que o extrato final tem composição
, a massa de acetona removida seja suficiente para levar o rafinado a
. No nosso caso
, então
Portanto, para calcular
precisamos do valor de
(a composição do extrato que sai em equilíbrio com o último estágio do rafinado). Esse
vem diretamente dos dados de equilíbrio: é o
que corresponde ao
do último estágio. Para o cálculo do solvente mínimo, esse
corresponde a um ponto especial (ver passo seguinte).
Passo 3
Conceito e cálculo do solvente mínimo
(ideia física e procedimento matemático):
- Intuição: o solvente mínimo é a menor vazão de solvente teórica que ainda permite atingir a especificação de rafinado
. Isso ocorre num caso limite em que o ponto de operação “roça” a curva de equilíbrio: geometricamente, no diagrama de composição (plano vs ou diagrama ternário), a reta operativa que liga o ponto do solvente fresco ao ponto do rafinado torna-se tangente à curva de equilíbrio. Em termos práticos: qualquer solvente menor não consegue mais extrair acetona suficiente porque a operação fica limitada pela transferência em equilíbrio. - Consequência útil: para obter
precisamos achar o ponto de equilíbrio (o ponto de tangência) tal que a reta que liga o ponto do solvente fresco (no nosso caso composição de acetona na fase orgânica) e o ponto seja tangente à curva . Em termos de equações, o tangente cumpre: - Está em equilíbrio:
. - A inclinação da curva em
é igual à inclinação da reta que liga ao ponto do solvente fresco . Como o solvente fresco é puro em solvente e sem acetona, na representação típica usamos (ponto sobre o eixo do solvente). Em fórmula, para um sistema representado por , a condição tangente é
- Está em equilíbrio:
(Atenção: a forma exata depende da convenção da projeção no plano; essa é a forma funcional da igualdade de inclinações: derivada da curva no ponto = declive da reta que passa por
e
.)
- Procedimento numérico para achar o ponto de tangência
: - Ter a função
ou dados discretos com interpolação. - Formar a função residual
- Encontrar
tal que (usar método numérico: Newton, secante ou busca por bisecção). Depois obter .
- Ter a função
- Depois de achar
, calcular pela fórmula do Passo 2:
No nosso caso
, então
Observação didática: se os dados de equilíbrio forem fornecidos apenas como tie-lines discretas
, uma estratégia prática é:
- Interpolar as tie-lines para obter
e estimar numericamente, ou - Proceder geometricamente no diagrama ternário: traçar diversas retas ligando o ponto do solvente puro ao ponto
e procurar a que fica tangente à curva de equilíbrio (graficamente o ponto de tangência dá ), e então usar a fórmula acima.
Passo 4
Cálculo do número de estágios quando
é dado (a estratégia, sem números porque falta a curva):
- Quando a vazão real de solvente
é maior que (no seu caso ), o processo pode ser realizado com um número finito de estágios teóricos. O número de estágios é obtido por um procedimento gráfico análogo ao método de McCabe–Thiele (usado em destilação) adaptado para extração líquido–líquido, ou por solução numérica usando balanços estágio-a-estágio.
Método gráfico (passos práticos):
- Desenhar a curva de equilíbrio
no plano (ou usar diagrama ternário). - Marcar o ponto do solvente fresco (no eixo do solvente; aqui
) e o ponto do raffinado alvo . - Determinar a reta operativa que corresponde à vazão
(explicito abaixo como obtê-la numericamente). - A partir do ponto
(no eixo ), traçar um passo para cima até cortar a curva de equilíbrio (encontra-se ); então, traçar daquele ponto sobre a reta operativa horizontal/na direção correta até cortar a linha de equilíbrio novamente; repetir “zig-zag” até atingir a composição do alimentador (ou o ponto correspondente a ). O número de passos equil. → operativa = número de estágios teóricos.
Forma algébrica do “operating line”:
- Em extração contínua contracorrente, com séries de estágios idéias, é possível escrever o equilíbrio de massa global levando às equações lineares que dão a reta operativa. Uma forma prática (numérica) é resolver os balanços globais a fim de obter as vazões
e e então usar as relações estágio-a-estágio. Em termos gerais, para cada estágio o balanço de soluto dá:
onde
(equilíbrio no estágio),
é o raffinado que entra no estágio (vindo do estágio acima), e
é o extrato que entra (vindo do estágio abaixo). Com
e
conhecidos (a partir de balanços globais quando
é conhecido e quando se conhece
do último estágio), essa é uma relação linear que permite avançar etapa-a-etapa (num método numérico iterativo).
- Em termos práticos: para contar estágios com
procede-se assim: - Conhecer (ou calcular)
numericamente (aqui: ). - Com
conhecido, e sabendo , e supondo que o extrato final está em equilíbrio com o raffinado final (o que é verdade), resolve-se as equações de balanço para obter e (isto requer o conhecimento do correspondente ao ou ao ponto de saída do extrato). - Em seguida executa-se os passos estágio-a-estágio (diagrama zig-zag) até ver quantos estágios são necessários para que, partindo de
, se alcance a posição do alimentador (ou ponto correspondente).
- Conhecer (ou calcular)
Alternativa analítica simples (caso muito especial): se a relação de equilíbrio puder ser aproximada por uma relação linear simples (distribuição constante
tal que
), então existe uma fórmula analítica semelhante à equação de Kremser que dá o número de estágios
em função de
. Nesse caso o número de estágios teórico satisfaz uma relação do tipo
(com ajustes conforme a convenção usada). Mas essa fórmula só é aplicável quando a distribuição é aproximadamente linear (o que não costuma ser geralmente o caso em extração líquida onde existem curvas de equilíbrio não-lineares). Por isso o método gráfico ou um procedimento numérico iterativo usando a curva real é preferível e mais correto.
Passo 5
Como obter as composições e vazões que saem do 2.º estágio (procedimento detalhado para execução numérica):
- Organização das etapas para cálculo numérico (quando se tem a curva
- Em muitos casos
(o extrato final está em equilíbrio com o rafinado final), então pode-se usar direto .
- Calcular as vazões
e a partir das equações de balanço total e de soluto (sistema linear de duas equações e duas incógnitas). - Com
e conhecidos, realizar o cálculo estágio-a-estágio (direção do contracorrente): - Numerar os estágios de cima para baixo ou de baixo para cima de acordo com convenção; normalmente rotula-se o estágio mais baixo como estágio 1 (onde entra o solvente fresco) e o mais alto como estágio
(onde entra o alimentador). Mas a contagem gráfica costuma partir do e avançar em direção a . - Para cada estágio
, conhecendo a composição que entra por um dos fluxos, procede-se: - Usar a curva de equilíbrio para obter a composição da fase oposta em equilíbrio (se entra raffinate com
, em equilíbrio o extrato sai com ; graficamente: do ponto sobe-se até a curva, obtém-se ). - Aplicar balanço de soluto do estágio
- Usar a curva de equilíbrio para obter a composição da fase oposta em equilíbrio (se entra raffinate com
- Numerar os estágios de cima para baixo ou de baixo para cima de acordo com convenção; normalmente rotula-se o estágio mais baixo como estágio 1 (onde entra o solvente fresco) e o mais alto como estágio
- Em muitos casos
onde
. Esta equação costuma ser resolvida numericamente (pois
depende de
).
- Repetir até obter as composições de saída de cada estágio. Em particular, a composição que sai do 2.º estágio (dependendo da contagem) é obtida como ou
conforme a direção; a vazão é
ou
(já calculadas globalmente).
- Repetir até obter as composições de saída de cada estágio. Em particular, a composição que sai do 2.º estágio (dependendo da contagem) é obtida como
Exemplo esquemático de método numérico (passo a passo computacional):
- Dados:
- Calcule
(equilíbrio no último estágio). - Resolva para
e usando:
- Com
para achar
. O resultado do 2.º estágio será então os pares e as vazões são as mesmas para todos os estágios (constantes no regime permanente), então a vazão que “deixa” o 2.º estágio é simplesmente para a fase raffinate e para a fase extract, e as composições são (raffinate de saída do 2.º) e (extract de saída do 2.º).]
Passo 6
Resumo do que é necessário para obter os números pedidos (resumindo: os dados que estão faltando e como serão usados):
- É imprescindível ter os dados de equilíbrio a
. Formas aceitáveis desses dados: - Uma função
(fração em massa de acetona no extrato vs fração em massa na raffinado), ou - Uma tabela de tie-lines
representando as composições das duas fases em equilíbrio.
- Uma função
- Com esses dados será possível:
- Determinar o ponto de tangência
(resolvendo ) e calcular . - Com
calcular e e, por procedimento gráfico ou numérico estágio-a-estágio, contar quantos estágios são necessários. - Fazer os balanços estágio-a-estágio e informar a vazão e composição que saem do 2.º estágio.
- Determinar o ponto de tangência
Encerramento motivacional: dá trabalho, mas é procedimento padrão — assim que os dados de equilíbrio estiverem disponíveis a execução é direta seguindo os passos acima; posso fazer os cálculos numéricos ou traçar o gráfico/estagios se os dados de equilíbrio forem fornecidos.
Resposta
Não é possível calcular numericamente (a) a vazão mínima de solvente, (b) o número de estágios para
e (c) a vazão e composições na saída do 2.º estágio porque os dados de equilíbrio
a
(curva ou tie-lines) não foram fornecidos.