2-(EUF-2014) Considere um conjunto de ondas planas eletromagnéticas no vácuo, cujos campos (elétrico e magnético) são dados pela parte real de funções:
, onde
é o vetor de onda, que determina a direção de propagação da onda, e
é a frequência angular, que se relaciona com o vetor de onda por
, onde
é a velocidade de propagação das ondas.
a) Mostre que o divergente de
satisfaz:
.
b) Mostre que o rotacional de
satisfaz:
.
c) Demonstre que as ondas são transversais e que os vetores
e
são mutuamente perpendiculares.
a) Mostre que o divergente de
b) Mostre que o rotacional de
c) Demonstre que as ondas são transversais e que os vetores
Passo 1
O enunciado dá uma família de ondas planas no vácuo cuja forma complexa é
onde
é um vetor constante (a amplitude),
é o vetor de onda,
é a frequência angular e vale
com
. As perguntas são:
a) Mostrar que .
b) Mostrar que .
c) Demonstrar que as ondas são transversais e que e
são mutuamente perpendiculares.
a) Mostrar que
b) Mostrar que
c) Demonstrar que as ondas são transversais e que
Lista das informações relevantes fornecidas:
; relação
; estamos no vácuo (podemos usar as equações de Maxwell sem fontes). Neste enunciado
pode representar
ou
.
Passo 2
Pequena lição sobre diferenciação espacial de uma exponencial dependente de
.
Se você tem uma função escalar
, a derivada parcial em relação a uma coordenada
usa a regra da cadeia:
Como
, tem-se
. Logo
Essa identidade é a base para calcular divergente e rotacional: ao derivar componentes de
, cada derivada espacial traz um fator
.
Passo 3
Cálculo do divergente (resposta da letra a).
O divergente de um campo vetor
é definido componente-a-componente:
Aqui
com
constante. Usando a identidade do Passo 2:
Somando nas três componentes:
Reconhecendo produto escalar
e
, obtemos
Isto prova a letra (a).
Passo 4
Cálculo do rotacional (resposta da letra b).
O rotacional pode ser escrito em componentes usando o símbolo de Levi-Civita
:
Novamente
. Então
Mas
é exatamente a componente
-ésima do produto vetorial
. Portanto
Isto prova a letra (b). (Alternativamente, você pode derivar usando a forma determinantal do rotacional; o fator
surge da mesma forma.)
Passo 5
Preparando a demonstração da transversalidade (partes da letra c): equações de Maxwell no vácuo e como aplicá-las à forma de onda dada.
As equações de Maxwell no vácuo (sem cargas nem correntes) são:
Aqui
e
têm a forma de ondas planas como
do enunciado:
,
.
Passo 6
Aplicando o resultado do divergente às equações de Gauss para obter a transversalidade.
Usando o resultado do Passo 3 para
:
Portanto
Isto significa que
é perpendicular a
: a componente de
ao longo de
é nula. Analogamente, a partir de
e do mesmo raciocínio:
Logo
também é perpendicular a
. Isso já mostra que as ondas são transversais (os campos elétrico e magnético têm apenas componentes ortogonais à direção de propagação).
Passo 7
Usando as equações de Maxwell rotacionais para relacionar
e
e mostrar perpendicularidade mútua.
Aplique a identidade do rotacional do Passo 4 a
:
Pela lei de Faraday temos
. Calculando o derivado temporal de
obtemos
. Assim
Cancelando o
(não nulo), vem
Dessa igualdade segue imediatamente que
é perpendicular a
(porque
) e também que
é perpendicular a
(pois
). Portanto
,
,
: são mutuamente perpendiculares.
Além disso, usando
e o fato de
e
serem perpendiculares (ângulo
entre eles), obtemos a relação entre módulos:
Então
.
Também podemos reescrever a relação anterior como
onde
é o versor de propagação.
Passo 8
Exemplo concreto e interpretação física (ajuda a memorizar).
Escolha
(propagação ao longo de
). Se tomarmos
, então
Pela relação
segue
. Assim
está em
,
em
e
em
: todos perpendiculares entre si. O vetor de Poynting
aponta na direção de
, o que faz sentido: a energia é transportada na direção de propagação.
Resposta
a)
b)
c)
(logo
e
).