2-(EUF-2014) Considere um conjunto de ondas planas eletromagnéticas no vácuo, cujos campos (elétrico e magnético) são dados pela parte real de funções: \vec{u}(\vec{r}, t)=\vec{A} e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r}-w t)}, onde \vec{k} é o vetor de onda, que determina a direção de propagação da onda, e w é a frequência angular, que se relaciona com o vetor de onda por w=k c, onde c=1 / \sqrt{\mu_{o} \varepsilon_{o}} é a velocidade de propagação das ondas.
a) Mostre que o divergente de \vec{u}(\vec{r}, t) satisfaz: \vec{\nabla} \cdot \vec{u}=i \vec{k} \cdot \vec{u}.
b) Mostre que o rotacional de \vec{u}(\vec{r}, t) satisfaz: \vec{\nabla} \times \vec{u}=i \vec{k} \times \vec{u}.
c) Demonstre que as ondas são transversais e que os vetores \vec{E}, \vec{B} e \vec{k} são mutuamente perpendiculares.

Passo 1

O enunciado dá uma família de ondas planas no vácuo cuja forma complexa é
\vec{u}(\vec{r},t)=\vec{A}\,e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)},
onde \vec{A} é um vetor constante (a amplitude), \vec{k} é o vetor de onda, \omega é a frequência angular e vale \omega = k c com c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}. As perguntas são:
a) Mostrar que \vec{\nabla}\cdot\vec{u}=i\,\vec{k}\cdot\vec{u}.
b) Mostrar que \vec{\nabla}\times\vec{u}=i\,\vec{k}\times\vec{u}.
c) Demonstrar que as ondas são transversais e que \vec{E},\vec{B} e \vec{k} são mutuamente perpendiculares.
Lista das informações relevantes fornecidas:
\vec{u}(\vec{r},t)=\vec{A}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}; relação \omega = k c; estamos no vácuo (podemos usar as equações de Maxwell sem fontes). Neste enunciado \vec{u} pode representar \vec{E} ou \vec{B}.

Passo 2

Pequena lição sobre diferenciação espacial de uma exponencial dependente de \vec{k}\cdot\vec{r}.
Se você tem uma função escalar f(\vec{r},t)=e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}, a derivada parcial em relação a uma coordenada x_j usa a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x_j}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}\cdot \frac{\partial}{\partial x_j}\big(i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)\big).
Como \vec{k}\cdot\vec{r}=k_1 x_1+k_2 x_2+k_3 x_3, tem-se \partial(\vec{k}\cdot\vec{r})/\partial x_j = k_j. Logo
\frac{\partial}{\partial x_j}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = i k_j\, e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}.
Essa identidade é a base para calcular divergente e rotacional: ao derivar componentes de \vec{u}=\vec{A} e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}, cada derivada espacial traz um fator i k_j.

Passo 3

Cálculo do divergente (resposta da letra a).
O divergente de um campo vetor \vec{u} é definido componente-a-componente:
\vec{\nabla}\cdot\vec{u}=\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial u_j}{\partial x_j}.
Aqui u_j(\vec{r},t)=A_j e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} com A_j constante. Usando a identidade do Passo 2:
\frac{\partial u_j}{\partial x_j}=A_j\cdot i k_j\, e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}.
Somando nas três componentes:
\vec{\nabla}\cdot\vec{u}=\sum_{j=1}^3 i k_j A_j\, e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = i\left(\sum_{j=1}^3 k_j A_j\right)e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}.
Reconhecendo produto escalar \vec{k}\cdot\vec{A}=\sum k_j A_j e \vec{u}=\vec{A}e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}, obtemos
\vec{\nabla}\cdot\vec{u}=i\,\vec{k}\cdot\vec{u}.
Isto prova a letra (a).

Passo 4

Cálculo do rotacional (resposta da letra b).
O rotacional pode ser escrito em componentes usando o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk}:
(\vec{\nabla}\times\vec{u})_i=\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk}\frac{\partial u_k}{\partial x_j}.
Novamente \partial u_k/\partial x_j = A_k\cdot i k_j\, e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} = i k_j u_k. Então
(\vec{\nabla}\times\vec{u})_i=\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk} i k_j u_k = i \sum_{j,k}\varepsilon_{ijk} k_j u_k.
Mas \sum_{j,k}\varepsilon_{ijk} k_j u_k é exatamente a componente i-ésima do produto vetorial \vec{k}\times\vec{u}. Portanto
\vec{\nabla}\times\vec{u}=i\,\vec{k}\times\vec{u}.
Isto prova a letra (b). (Alternativamente, você pode derivar usando a forma determinantal do rotacional; o fator i k_j surge da mesma forma.)

Passo 5

Preparando a demonstração da transversalidade (partes da letra c): equações de Maxwell no vácuo e como aplicá-las à forma de onda dada.
As equações de Maxwell no vácuo (sem cargas nem correntes) são:
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0,
\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0,
\vec{\nabla}\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t},
\vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}.
Aqui \vec{E}(\vec{r},t) e \vec{B}(\vec{r},t) têm a forma de ondas planas como \vec{u} do enunciado: \vec{E}=\vec{E}_0 e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}, \vec{B}=\vec{B}_0 e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)}.

Passo 6

Aplicando o resultado do divergente às equações de Gauss para obter a transversalidade.
Usando o resultado do Passo 3 para \vec{E}:
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=i\,\vec{k}\cdot\vec{E}=0.
Portanto
\vec{k}\cdot\vec{E}=0.
Isto significa que \vec{E} é perpendicular a \vec{k}: a componente de \vec{E} ao longo de \vec{k} é nula. Analogamente, a partir de \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 e do mesmo raciocínio:
\vec{k}\cdot\vec{B}=0.
Logo \vec{B} também é perpendicular a \vec{k}. Isso já mostra que as ondas são transversais (os campos elétrico e magnético têm apenas componentes ortogonais à direção de propagação).

Passo 7

Usando as equações de Maxwell rotacionais para relacionar \vec{E},\vec{B} e \vec{k} e mostrar perpendicularidade mútua.
Aplique a identidade do rotacional do Passo 4 a \vec{E}:
\vec{\nabla}\times\vec{E}=i\,\vec{k}\times\vec{E}.
Pela lei de Faraday temos \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\partial\vec{B}/\partial t. Calculando o derivado temporal de \vec{B}=\vec{B}_0 e^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} obtemos \partial\vec{B}/\partial t = -i\omega\vec{B}. Assim
i\,\vec{k}\times\vec{E} = -\left(-i\omega\vec{B}\right) = i\omega\vec{B}.
Cancelando o i (não nulo), vem
\vec{k}\times\vec{E}=\omega\,\vec{B}.
Dessa igualdade segue imediatamente que \vec{B} é perpendicular a \vec{k} (porque \vec{k}\cdot(\vec{k}\times\vec{E})=0) e também que \vec{B} é perpendicular a \vec{E} (pois \vec{E}\cdot(\vec{k}\times\vec{E})=0). Portanto \vec{E}\perp\vec{B}, \vec{E}\perp\vec{k}, \vec{B}\perp\vec{k}: são mutuamente perpendiculares.
Além disso, usando \omega = k c e o fato de \vec{k} e \vec{E} serem perpendiculares (ângulo 90^\circ entre eles), obtemos a relação entre módulos:
|\vec{B}| = \frac{1}{\omega}\,|\vec{k}\times\vec{E}| = \frac{k}{\omega}\,|\vec{E}| = \frac{1}{c}\,|\vec{E}|.
Então |\vec{B}| = |\vec{E}|/c.
Também podemos reescrever a relação anterior como
\vec{B}=\frac{1}{\omega}\,\vec{k}\times\vec{E}=\frac{1}{c}\,\hat{k}\times\vec{E},
onde \hat{k}=\vec{k}/k é o versor de propagação.

Passo 8

Exemplo concreto e interpretação física (ajuda a memorizar).
Escolha \vec{k}=k\hat{z} (propagação ao longo de z). Se tomarmos \vec{E}=E_0\hat{x}e^{i(kz-\omega t)}, então
\vec{k}\times\vec{E}=k\hat{z}\times E_0\hat{x} e^{i(kz-\omega t)}=kE_0\hat{y}e^{i(kz-\omega t)}.
Pela relação \vec{k}\times\vec{E}=\omega\vec{B} segue \vec{B}=(k/\omega)E_0\hat{y}e^{i(kz-\omega t)}=(E_0/c)\hat{y}e^{i(kz-\omega t)}. Assim \vec{E} está em x, \vec{B} em y e \vec{k} em z: todos perpendiculares entre si. O vetor de Poynting \vec{S}\propto\vec{E}\times\vec{B} aponta na direção de \vec{k}, o que faz sentido: a energia é transportada na direção de propagação.

Resposta

a) \vec{\nabla}\cdot\vec{u}=i\,\vec{k}\cdot\vec{u}
b) \vec{\nabla}\times\vec{u}=i\,\vec{k}\times\vec{u}
c) \vec{k}\cdot\vec{E}=0,\\ \vec{k}\cdot\vec{B}=0,\\ \vec{k}\times\vec{E}=\omega\vec{B} (logo \vec{E}\perp\vec{B}\perp\vec{k} e |\vec{B}|=|\vec{E}|/c).

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