Q 7. (Resistência e Resistividade)** Um pedaço de fio de cobre, bitola 14, possui um diâmetro de 0,0163 \mathrm{~cm} e um comprimento de 14,0 \mathrm{~m}.
(a) Qual é o valor de sua resistência?
(b) Se uma diferença de potencial de 3,00 \mathrm{~V} for aplicada às extremidades desse fio, qual será a corrente que por ele fluirá?
(c) Qual é o campo elétrico no fio?
Resposta: (a) 0,114 \Omega; (b) 26,3 \mathrm{~A}; (c) 0,214 \mathrm{~V} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado dá um fio de cobre, bitola 14, com as seguintes informações (vou listar tudo que é útil):
  • diâmetro do fio: 0{,}0163\\ \mathrm{cm} (o enunciado forneceu isso).
  • comprimento do fio: 14{,}0\\ \mathrm{m}.
  • diferença de potencial aplicada: V=3{,}00\\ \mathrm{V} (usada nas partes (b) e (c)).
Observação importante (decisão que tomo para a resolução): o valor de resistência esperado na resposta dada pelo enunciado corresponde a um diâmetro da ordem de 0{,}163\\ \mathrm{cm} (ou seja, provavelmente houve um zero a mais/menos no enunciado). Para que a resolução fique compatível com as respostas fornecidas e com a bitola indicada (AWG 14 tem diâmetro ~ 0{,}162\\ \mathrm{cm}), vou interpretar o diâmetro como sendo 0{,}163\\ \mathrm{cm}. Se você quiser que eu use exatamente 0{,}0163\\ \mathrm{cm} em vez disso, eu refaço os cálculos — mas para bater com as respostas dadas vou usar 0{,}163\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Converter unidades para o SI (métrico padrão) e calcular o raio:
  • diâmetro d = 0{,}163\\ \mathrm{cm} = 0{,}00163\\ \mathrm{m}.
  • raio r = d/2 = 0{,}00163/2 = 0{,}000815\\ \mathrm{m}.
Explicação curta: trabalhamos sempre em metros nas fórmulas elétricas porque a resistividade vem em \Omega\cdot\mathrm{m} e a fórmula da resistência usa comprimento em metros e área em metros quadrados.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal A. Fórmula e porquê: a seção é circular, então usamos a área do círculo
A = \pi r^2,
onde r é o raio em metros. Aqui:
r = 0{,}000815\\ \mathrm{m}.
Calculemos r^2:
r^2 = (0{,}000815)^2 = 6{,}64225\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^2.
Agora a área:
A = \pi r^2 \approx 3{,}14159265\times 6{,}64225\times10^{-7} \approx 2{,}08796\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Introduzir resistividade e a fórmula da resistência:
  • Conceito: a resistividade \rho é uma propriedade do material que mede quão difícil é para a corrente elétrica passar. Para um fio uniforme, a resistência R é dada por
R = \frac{\rho L}{A},
onde L é o comprimento do fio e A é a área da seção transversal.
  • Valor prático: para o cobre à temperatura ambiente costuma-se usar \rho em torno de 1{,}70\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} (existem tabelas que dão 1{,}68\times10^{-8} ou 1{,}72\times10^{-8} dependendo da referência e da temperatura; escolhi 1{,}70\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} para ficar consistente com a resposta fornecida).

Passo 5

Calcular a resistência aplicando a fórmula passo a passo:
  • comprimento L = 14{,}0\\ \mathrm{m}.
  • produto \rho L:
\rho L = 1{,}70\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} \times 14{,}0\\ \mathrm{m} = 2{,}38\times10^{-7}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}^2.
  • dividir pelo A que encontramos:
R = \frac{\rho L}{A} = \frac{2{,}38\times10^{-7}}{2{,}08796\times10^{-6}}\\ \Omega \approx 0{,}1140\\ \Omega.
Interpretação: isso significa que o fio ofereceria uma resistência de cerca de 0{,}114\\ \Omega. Pequenas variações no valor de \rho por temperatura ou em arredondamentos mudam levemente esse número (por isso ver respostas como 0{,}113\\ \Omega ou 0{,}115\\ \Omega em diferentes fontes).

Passo 6

Calcular a corrente quando se aplica V=3{,}00\\ \mathrm{V}. Fórmula e explicação: usamos a Lei de Ohm, que diz
I = \frac{V}{R},
onde I é a corrente em ampères, V a diferença de potencial em volts e R a resistência em ohms. Substituindo:
I = \frac{3{,}00\\ \mathrm{V}}{0{,}1140\\ \Omega} \approx 26{,}3\\ \mathrm{A}.
Explicação prática: é uma corrente alta — fios grossos permitem correntes grandes; por isso bitolas são escolhidas segundo a corrente que vai passar.

Passo 7

Calcular o campo elétrico no interior do fio. Raciocínio e fórmula: para um condutor uniforme, a diferença de potencial V ao longo do comprimento L produz um campo elétrico médio E constante dado por
E = \frac{V}{L},
com E em \mathrm{V}/\mathrm{m}. Substituindo:
E = \frac{3{,}00\\ \mathrm{V}}{14{,}0\\ \mathrm{m}} = 0{,}2142857\\ \mathrm{V}/\mathrm{m} \approx 0{,}214\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
Interpretação: esse campo é pequeno numericamente, mas sobre um comprimento grande produz a voltagem total de 3{,}00\\ \mathrm{V}.

Resposta

(a) 0{,}114\\ \Omega
(b) 26{,}3\\ \mathrm{A}
(c) 0{,}214\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}

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