- (EUF-22-1) Um disco circular de plástico com raio
possui uma carga positiva uniformemente distribuída. Sendo
sua densidade de carga uniforme, a que distancia ao longo do seu eixo central (perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro) o módulo do campo elétrico
é igual a um terço do seu valor imediatamente acima do centro da superfície do disco?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá um disco circular de plástico de raio
, com carga positiva uniformemente distribuída; a densidade de carga superficial é
.,
A pergunta é: a que distância ao longo do eixo central (perpendicular ao plano do disco, passando pelo centro) o módulo do campo elétrico , é igual a um terço do seu valor imediatamente acima do centro da superfície do disco?
A pergunta é: a que distância ao longo do eixo central (perpendicular ao plano do disco, passando pelo centro) o módulo do campo elétrico
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Raio do disco:
. - Densidade de carga superficial:
. - Queremos a distância
, ao longo do eixo central tal que , onde é o módulo do campo imediatamente acima do centro do disco.
Passo 2
Ideia de cálculo (passo a passo didático): vamos obter uma expressão para o campo elétrico ao longo do eixo do disco,
, decompondo o disco em anéis concêntricos. Cada anel possui raio
, e espessura radial
. Depois somamos (integramos) a contribuição de todos os anéis de
, até
.
Recordando a lei de Coulomb (em linguagem prática): o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme
, a uma distância
, tem magnitude
Para um anel, as componentes horizontais se cancelam por simetria e sobra apenas a componente ao longo do eixo. Para um anel de raio
, e carga
, no ponto do eixo a distância
, do centro, a componente axial vale
Agora encontramos
do anel: a área do anel é
, logo
Substituindo
em
obtemos a contribuição axial de um anel.
Passo 3
Substituindo
na expressão da componente axial, temos
Simplificando a constante:
portanto
Para obter o campo total no ponto do eixo a distância
, integramos
de
a
:
Passo 4
Vamos calcular a integral. Fazemos a substituição
, então
e
. A integral vira
Calculando a primitiva:
. Assim
Avaliando os limites:
Substituindo na expressão de
:
Cancelando
no primeiro termo obtemos a forma clássica:
Passo 5
Observações úteis:
- O valor imediatamente acima do centro do disco é o limite
. Fazendo na expressão:
Isso confirma que o campo no plano, imediatamente acima do disco uniformemente carregado, vale
.
Agora impomos a condição do problema: queremos
tal que
Substituindo as expressões:
Cancelando o fator comum
(não nulo) obtemos
Isolando a fração:
Passo 6
Agora resolvemos a equação para
. Elevando ao quadrado ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo:
Passando o termo com
para o lado esquerdo:
Isso dá
Multiplicando por
e isolando
:
Tomando a raiz positiva (buscamos distância
):
Resposta
(a)