1. (EUF-22-1) Um disco circular de plástico com raio R possui uma carga positiva uniformemente distribuída. Sendo \sigma sua densidade de carga uniforme, a que distancia ao longo do seu eixo central (perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro) o módulo do campo elétrico E é igual a um terço do seu valor imediatamente acima do centro da superfície do disco?
    (a) 2 R / \sqrt{5}
    (b) 3 R / \sqrt{7}
    (c) 4 R / \sqrt{3}
    (d) 2 R / \sqrt{3}
    (e) 5 R / \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado dá um disco circular de plástico de raio \,R, com carga positiva uniformemente distribuída; a densidade de carga superficial é \,\sigma.,
A pergunta é: a que distância ao longo do eixo central (perpendicular ao plano do disco, passando pelo centro) o módulo do campo elétrico \,E, é igual a um terço do seu valor imediatamente acima do centro da superfície do disco?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Raio do disco: \,R.
  • Densidade de carga superficial: \,\sigma.
  • Queremos a distância \,z>0, ao longo do eixo central tal que \,E(z)=\tfrac{1}{3}E(0^+), onde E(0^+) é o módulo do campo imediatamente acima do centro do disco.

Passo 2

Ideia de cálculo (passo a passo didático): vamos obter uma expressão para o campo elétrico ao longo do eixo do disco, \,E(z), decompondo o disco em anéis concêntricos. Cada anel possui raio \,r, e espessura radial \,dr. Depois somamos (integramos) a contribuição de todos os anéis de \,r=0, até \,r=R.
Recordando a lei de Coulomb (em linguagem prática): o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme \,dq, a uma distância \,s, tem magnitude
dE_{\text{puntual}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq}{s^2}.
Para um anel, as componentes horizontais se cancelam por simetria e sobra apenas a componente ao longo do eixo. Para um anel de raio \,r, e carga \,dq, no ponto do eixo a distância \,z, do centro, a componente axial vale
dE=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{dq\; z}{(z^2+r^2)^{3/2}}.
Agora encontramos dq do anel: a área do anel é 2\pi r\,dr, logo
dq=\sigma\cdot(2\pi r\,dr).
Substituindo dq em dE obtemos a contribuição axial de um anel.

Passo 3

Substituindo dq na expressão da componente axial, temos
dE=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sigma(2\pi r\,dr)\; z}{(z^2+r^2)^{3/2}}.
Simplificando a constante:
\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot 2\pi=\frac{1}{2\epsilon_0},
portanto
dE=\frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\cdot\frac{r\,dr}{(z^2+r^2)^{3/2}}.
Para obter o campo total no ponto do eixo a distância z, integramos r de 0 a R:
E(z)=\int_{0}^{R} dE=\frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(z^2+r^2)^{3/2}}.

Passo 4

Vamos calcular a integral. Fazemos a substituição \,u=z^2+r^2, então \,du=2r\,dr e \,r\,dr=\tfrac{1}{2}du. A integral vira
\int_{0}^{R}\frac{r\,dr}{(z^2+r^2)^{3/2}}=\frac{1}{2}\int_{u=z^2}^{u=z^2+R^2} u^{-3/2}\,du.
Calculando a primitiva: \int u^{-3/2}du=-2u^{-1/2}. Assim
\frac{1}{2}\int_{z^2}^{z^2+R^2} u^{-3/2}\,du=\frac{1}{2}\big[-2u^{-1/2}\big]_{z^2}^{z^2+R^2}=\big[-u^{-1/2}\big]_{z^2}^{z^2+R^2}.
Avaliando os limites:
\big[-u^{-1/2}\big]_{z^2}^{z^2+R^2}=-\frac{1}{\sqrt{z^2+R^2}}- \big(-\frac{1}{\sqrt{z^2}}\big)=\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{z^2+R^2}}.
Substituindo na expressão de E(z):
E(z)=\frac{\sigma z}{2\epsilon_0}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{\sqrt{z^2+R^2}}\right).
Cancelando z no primeiro termo obtemos a forma clássica:
E(z)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right).

Passo 5

Observações úteis:
  • O valor imediatamente acima do centro do disco é o limite z\to 0^+. Fazendo z\to0 na expressão:
E(0^+)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{0}{\sqrt{0+R^2}}\right)=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}.
Isso confirma que o campo no plano, imediatamente acima do disco uniformemente carregado, vale \,\sigma/(2\epsilon_0).
Agora impomos a condição do problema: queremos z>0 tal que
E(z)=\frac{1}{3}E(0^+).
Substituindo as expressões:
\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sigma}{2\epsilon_0}.
Cancelando o fator comum \frac{\sigma}{2\epsilon_0} (não nulo) obtemos
1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}=\frac{1}{3}.
Isolando a fração:
\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.

Passo 6

Agora resolvemos a equação para z. Elevando ao quadrado ambos os lados:
\frac{z^2}{z^2+R^2}=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}.
Multiplicando ambos os lados por z^2+R^2:
z^2=\frac{4}{9}(z^2+R^2).
Distribuindo:
z^2=\frac{4}{9}z^2+\frac{4}{9}R^2.
Passando o termo com z^2 para o lado esquerdo:
z^2-\frac{4}{9}z^2=\frac{4}{9}R^2.
Isso dá
\frac{5}{9}z^2=\frac{4}{9}R^2.
Multiplicando por 9 e isolando z^2:
5z^2=4R^2\quad\Rightarrow\quad z^2=\frac{4}{5}R^2.
Tomando a raiz positiva (buscamos distância z>0):
z=\frac{2}{\sqrt{5}}\,R.

Resposta

(a) \dfrac{2R}{\sqrt{5}}

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