Evaluate (a) \cos \{\pi \operatorname{sinh} (\ln 2)\}

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor exato de \cos\{\pi\operatorname{sinh}(\ln 2)\}.
Informações dadas:
  • A expressão a avaliar é \cos\bigl(\pi\cdot\operatorname{sinh}(\ln 2)\bigr).

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição de seno hiperbólico:
\operatorname{sinh} x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2},
onde e é a base dos logaritmos naturais. Aqui x=\ln 2. Agora calculemos e^{\ln 2} e e^{-\ln 2}:
e^{\ln 2}=2, \qquad e^{-\ln 2}=\frac{1}{e^{\ln 2}}=\frac{1}{2}.
Substituindo na definição,
\operatorname{sinh}(\ln 2)=\frac{2-\tfrac{1}{2}}{2}=\frac{\tfrac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}.

Passo 3

Agora substituímos o valor encontrado no argumento do cosseno:
\pi\cdot\operatorname{sinh}(\ln 2)=\pi\cdot\frac{3}{4}=\frac{3\pi}{4}.
Portanto a expressão fica \cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right).

Passo 4

Para avaliar \cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) usamos uma identidade trigonométrica e a noção de quadrante:
\frac{3\pi}{4}=\pi-\frac{\pi}{4},
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\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=-\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Sabendo que \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, obtemos
\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Resumo final: \operatorname{sinh}(\ln 2)=\dfrac{3}{4}, o argumento do cosseno é \dfrac{3\pi}{4}, e \cos\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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