e pede a antitransformada x[n] correspondente, com a região de convergência |z|>1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A expressão está em termos de z^{-1}.
A região de convergência é |z|>1.
Queremos o sinal discreto x[n] no domínio do tempo (antitransformada Z).
Passo 2
Breve revisão útil (o que vou usar e por quê):
Pares Z-transform básicos e interpretações:Z\{a^n u[n]\}=\frac{1}{1-a z^{-1}}\quad\text{para }|z|>|a|,onde u[n] é a sequência degrau unitário (u[n]=1 para n\ge0, 0 caso contrário).Z\{\delta[n]\}=1,onde \delta[n] é o impulso unitário (\delta[0]=1, \delta[n]=0 para n\ne0).
Forma prática: termos do tipo \dfrac{1}{z-a} podem ser reescritos como\frac{1}{z-a}=z^{-1}\cdot\frac{1}{1-a z^{-1}},e a série de potências em z^{-1} (válida para |z|>|a|) gera uma sequência causal (só com n\ge0 ou n\ge1 dependendo do fator z^{-1}).
Interpretação da ROC |z|>1: é a região externa ao polo de maior módulo; isso indica que a sequência será causal (direita da origem), ou seja, suportada em n\ge0.
Vou então transformar X(z) em uma soma de termos cujo inverso Z é conhecido (polinômio + frações parciais em formas do tipo 1/(1-a z^{-1}) ou equivalentes).
Passo 3
Primeiro passo algébrico: eliminar z^{-2} multiplicando numerador e denominador por z^2 — fica mais fácil fatorar:
O denominador é um quadrático; calcule raízes:z^2-\tfrac{3}{2}z+\tfrac{1}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad z=\frac{\tfrac{3}{2}\pm\sqrt{\tfrac{9}{4}-2}}{2}=\frac{\tfrac{3}{2}\pm\tfrac{1}{2}}{2}.Assim as raízes são z=1 e z=\tfrac{1}{2}. Portantoz^2-\tfrac{3}{2}z+\tfrac{1}{2}=(z-1)\left(z-\tfrac{1}{2}\right).
A ROC |z|>1 é exterior ao polo z=1 (que tem maior módulo que 1/2), o que confirma comportamento causal (expansão em potências de z^{-1} e sequência para n\ge0).
Passo 4
Como o grau do numerador é igual ao do denominador, faço divisão polinomial para separar parte polinomial + frações próprias:
Dividindo (z^2+2z+1) por (z^2-\tfrac{3}{2}z+\tfrac{1}{2}) obtemos quociente 1 e resto
Agora escrevo cada fração numa forma conveniente em z^{-1}, para reconhecer a antitransformada causal:
Usando \dfrac{1}{z-a}=z^{-1}\dfrac{1}{1-a z^{-1}}, obtemos