*** Antitransformada Z
Encontre o sinal x[n] cuja transformada Z assume a seguinte forma:
X(z)=\frac{1+2 z^{-1}+z^{-2}}{1-\frac{3}{2} z^{-1}+\frac{1}{2} z^{-2}} \quad \text { para }|z|>1

Passo 1

O enunciado dá a transformada Z
X(z)=\frac{1+2 z^{-1}+z^{-2}}{1-\tfrac{3}{2} z^{-1}+\tfrac{1}{2} z^{-2}}
e pede a antitransformada x[n] correspondente, com a região de convergência |z|>1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão está em termos de z^{-1}.
  • A região de convergência é |z|>1.
  • Queremos o sinal discreto x[n] no domínio do tempo (antitransformada Z).

Passo 2

Breve revisão útil (o que vou usar e por quê):
  • Pares Z-transform básicos e interpretações: Z\{a^n u[n]\}=\frac{1}{1-a z^{-1}}\quad\text{para }|z|>|a|,onde u[n] é a sequência degrau unitário ( u[n]=1 para n\ge0, 0 caso contrário). Z\{\delta[n]\}=1,onde \delta[n] é o impulso unitário ( \delta[0]=1, \delta[n]=0 para n\ne0).
  • Forma prática: termos do tipo \dfrac{1}{z-a} podem ser reescritos como \frac{1}{z-a}=z^{-1}\cdot\frac{1}{1-a z^{-1}},e a série de potências em z^{-1} (válida para |z|>|a|) gera uma sequência causal (só com n\ge0 ou n\ge1 dependendo do fator z^{-1}).
  • Interpretação da ROC |z|>1: é a região externa ao polo de maior módulo; isso indica que a sequência será causal (direita da origem), ou seja, suportada em n\ge0.
Vou então transformar X(z) em uma soma de termos cujo inverso Z é conhecido (polinômio + frações parciais em formas do tipo 1/(1-a z^{-1}) ou equivalentes).

Passo 3

Primeiro passo algébrico: eliminar z^{-2} multiplicando numerador e denominador por z^2 — fica mais fácil fatorar:
X(z)=\frac{z^2+2z+1}{z^2-\tfrac{3}{2}z+\tfrac{1}{2}}.
Fatorando onde possível:
  • O numerador é (z+1)^2.
  • O denominador é um quadrático; calcule raízes: z^2-\tfrac{3}{2}z+\tfrac{1}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad z=\frac{\tfrac{3}{2}\pm\sqrt{\tfrac{9}{4}-2}}{2}=\frac{\tfrac{3}{2}\pm\tfrac{1}{2}}{2}.Assim as raízes são z=1 e z=\tfrac{1}{2}. Portanto z^2-\tfrac{3}{2}z+\tfrac{1}{2}=(z-1)\left(z-\tfrac{1}{2}\right).
Conclusão até aqui:
X(z)=\frac{(z+1)^2}{(z-1)\left(z-\tfrac{1}{2}\right)}.
A ROC |z|>1 é exterior ao polo z=1 (que tem maior módulo que 1/2), o que confirma comportamento causal (expansão em potências de z^{-1} e sequência para n\ge0).

Passo 4

Como o grau do numerador é igual ao do denominador, faço divisão polinomial para separar parte polinomial + frações próprias:
Dividindo (z^2+2z+1) por (z^2-\tfrac{3}{2}z+\tfrac{1}{2}) obtemos quociente 1 e resto
\text{resto}=(z^2+2z+1)-(z^2-\tfrac{3}{2}z+\tfrac{1}{2})=\tfrac{7}{2}z+\tfrac{1}{2}.
Portanto
X(z)=1+\frac{\tfrac{7}{2}z+\tfrac{1}{2}}{(z-1)\left(z-\tfrac{1}{2}\right)}.

Passo 5

Agora faço decomposição em frações parciais do termo próprio:
Procuramos A e B tais que
\frac{\tfrac{7}{2}z+\tfrac{1}{2}}{(z-1)\left(z-\tfrac{1}{2}\right)}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-\tfrac{1}{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (z-1)(z-\tfrac{1}{2}) obtemos
\tfrac{7}{2}z+\tfrac{1}{2}=A\left(z-\tfrac{1}{2}\right)+B(z-1).
Avalio em z=1:
\tfrac{7}{2}\cdot1+\tfrac{1}{2}=4=A\left(1-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}A \quad\Rightarrow\quad A=8.
Avalio em z=\tfrac{1}{2}:
\tfrac{7}{2}\cdot\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{9}{4}=B\left(\tfrac{1}{2}-1\right)=-\tfrac{1}{2}B \quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{9}{2}.
Portanto a decomposição é
X(z)=1+\frac{8}{z-1}-\frac{9/2}{z-\tfrac{1}{2}}.

Passo 6

Agora escrevo cada fração numa forma conveniente em z^{-1}, para reconhecer a antitransformada causal:
Usando \dfrac{1}{z-a}=z^{-1}\dfrac{1}{1-a z^{-1}}, obtemos
\frac{8}{z-1}=8\,z^{-1}\cdot\frac{1}{1-1\cdot z^{-1}}, \qquad \frac{9/2}{z-\tfrac{1}{2}}=\frac{9}{2}\,z^{-1}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}z^{-1}}.
Recordando que, para |z|>|a|,
\frac{z^{-1}}{1-a z^{-1}}=\sum_{n=0}^{\infty} a^{n} z^{-(n+1)} \quad\overset{\mathcal{Z}^{-1}}{\longleftrightarrow}\quad a^{\,n-1} u[n-1],
ou seja, a antitransformada de \dfrac{1}{z-a} é a^{n-1}u[n-1] (sequência iniciando em n=1). Também 1 corresponde a \delta[n].

Passo 7

Aplicando antitransformada termo a termo (lembrando que ROC |z|>1 garante convergência das séries usadas):
  • 1 \xrightarrow{\mathcal{Z}^{-1}} \delta[n].
  • \dfrac{8}{z-1}\xrightarrow{\mathcal{Z}^{-1}} 8\cdot 1^{\,n-1} u[n-1]=8\,u[n-1] (pois 1^{n-1}=1).
  • \dfrac{9/2}{z-\tfrac{1}{2}}\xrightarrow{\mathcal{Z}^{-1}} \tfrac{9}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1} u[n-1].
Lembrando o sinal negativo no segundo termo da decomposição, juntamos:
x[n]=\delta[n]+8\,u[n-1]-\tfrac{9}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}u[n-1].

Passo 8

Simplifico o termo com potência para deixá-lo numa forma mais direta: para n\ge1,
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}=2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n},
então
\tfrac{9}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\tfrac{9}{2}\cdot 2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}=9\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}.
Assim, para n\ge1 os termos combinados dão 8-9\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}, e para n=0 só fica \delta[0]=1.
Portanto uma escrita compacta e clara é:
x[n]=\delta[n]+8\,u[n-1]-9\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}u[n-1].

Resposta

x[n]=\delta[n]+8\,u[n-1]-9\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}u[n-1]

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