Um evaporador de simples efeito concentra 9.070 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de uma solução de NaOH de 20 \% até 50 \%. A pressão manométrica do vapor de água é de 1,37 \mathrm{~atm} e a pressão absoluta do espaço vapor é de 100 mmHg . O coeficiente global de transferência de calor é de 1.220,6 \mathrm{kcal} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~h}^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura da alimentação é de 37,8^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a quantidade de vapor consumido, a economia e a área do evaporador.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a quantidade de vapor consumido (kg/h).
  • Calcular a economia (kg de água evaporada por kg de vapor).
  • Calcular a área do trocador/evaporador (m²).
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente, sem resolver ainda):
  • Vazão da solução de alimentação: F=9070\\ \mathrm{kg/h} (solução a 20\% de NaOH) — peguei este valor do enunciado.
  • Concentração da alimentação: x_F=20\% (fração em massa).
  • Concentração do produto (concentrado): x_P=50\%.
  • Pressão manométrica do vapor de aquecimento (vapor de caldeira): p_{\text{vapor,man}}=1,37\\ \mathrm{atm} — peguei do enunciado.
  • Pressão absoluta do espaço vapor do evaporador: p_{\text{evap,abs}}=100\\ \mathrm{mmHg} — peguei do enunciado.
  • Coeficiente global de transferência de calor: U=1220{,}6\\ \mathrm{kcal/(m^2\;h\;^\circ C)} — peguei do enunciado.
  • Temperatura da alimentação: T_F=37{,}8^\circ\mathrm{C} — peguei do enunciado.
Observações que usarei sem pedir nada a mais:
  • Vou assumir calor específico médio da solução aproximadamente igual ao da água: c_p\approx 1{,}0\\ \mathrm{kcal/(kg\;^\circ C)}. Esta é uma aproximação usual em problemas deste tipo.
  • Vou usar tabelas de vapor (interpolando valores tabulados) para obter temperaturas de saturação correspondentes às pressões dadas e, em seguida, estimar os calores latentes por uma relação aproximada. Vou mostrar como fiz as interpolações.

Passo 2

Balanço de massa simples para achar a quantidade de água evaporada.
  • Massa de NaOH na alimentação:
m_{\text{NaOH}} = x_F\;F = 0{,}20\cdot 9070 = 1814\\ \mathrm{kg/h}.
  • Massa do produto P (50% NaOH) obtida a partir da massa de soluto:
0{,}50\;P = 1814 \quad\Rightarrow\quad P = \frac{1814}{0{,}50} = 3628\\ \mathrm{kg/h}.
  • Distilado (água) evaporado por hora D é a diferença entre alimentação e produto:
D = F - P = 9070 - 3628 = 5442\\ \mathrm{kg/h}.
Portanto foi evaporado 5442\\ \mathrm{kg/h} de água (isto é o vapor gerado no evaporador).

Passo 3

Determinar as temperaturas de saturação (temperatura de condensação do vapor de aquecimento e temperatura de ebulição no evaporador) a partir das pressões fornecidas.
  1. Pressão absoluta do vapor de aquecimento (steam):
  • O enunciado dá a pressão manométrica do vapor p_{\text{vapor,man}}=1{,}37\\ \mathrm{atm}.
  • Pressão atmosférica: p_{\text{atm}}=1{,}00\\ \mathrm{atm}.
  • Logo a pressão absoluta do vapor de aquecimento é
p_{\text{vapor,abs}} = p_{\text{atm}} + p_{\text{vapor,man}} = 1{,}00 + 1{,}37 = 2{,}37\\ \mathrm{atm}.
  1. Pressão absoluta no espaço de ebulição: dada como 100\\ \mathrm{mmHg}. Converter para unidades convenientes:
100\\ \mathrm{mmHg} \approx \frac{100}{760}\\ \mathrm{atm} = 0{,}1316\\ \mathrm{atm}.
  1. Determinar temperaturas de saturação (interpolando valores de tabela de vapor):
  • Para p_{\text{vapor,abs}}=2{,}37\\ \mathrm{atm} (≈2{,}40 bar): usando valores tabelados aproximados:
    • T_{\text{sat}} em 2{,}00\\ \mathrm{atm} é 120{,}2^\circ\mathrm{C}.
    • T_{\text{sat}} em 2{,}50\\ \mathrm{atm} é 127{,}4^\circ\mathrm{C}.
    • Interpolando para 2{,}37\\ \mathrm{atm} obtém-se aproximadamente
T_{\text{vapor}} \approx 125{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Para p_{\text{evap,abs}}=100\\ \mathrm{mmHg} (≈0,1316 atm): usando tabela (valores aproximados):
    • Em 50^\circ\mathrm{C}: p\approx 92{,}5\\ \mathrm{mmHg}.
    • Em 55^\circ\mathrm{C}: p\approx 105{,}6\\ \mathrm{mmHg}.
    • Interpolando para 100\\ \mathrm{mmHg} dá aproximadamente
T_{\text{ebul}} \approx 52{,}9^\circ\mathrm{C}.
Resumo:
T_{\text{vapor}} \approx 125{,}5^\circ\mathrm{C},\qquad T_{\text{ebul}} \approx 52{,}9^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Estimativa dos calores latentes necessários ( \lambda) para condensação do vapor de aquecimento e para vaporização no evaporador.
Uma aproximação linear prática para o calor latente da água em \mathrm{kcal/kg} é
\lambda(T) \approx 597{,}3 - 0{,}567\;T,
com T em ^\circ\mathrm{C}. (Isto vem de uma forma linearizada da dependência do calor latente com a temperatura; é uma aproximação adequada para fins de cálculo manual.)
Calor latente do vapor de aquecimento (à temperatura de condensação T_{\text{vapor}}):
\lambda_{\text{vapor}} = 597{,}3 - 0{,}567\cdot 125{,}5 \approx 526{,}1\\ \mathrm{kcal/kg}.
Calor latente de vaporização no evaporador (à temperatura de ebulição T_{\text{ebul}}):
\lambda_{\text{ebul}} = 597{,}3 - 0{,}567\cdot 52{,}9 \approx 567{,}3\\ \mathrm{kcal/kg}.
Comentários rápidos: \lambda_{\text{vapor}} é o calor que cada kg de vapor de aquecimento libera ao condensar; \lambda_{\text{ebul}} é o calor necessário para evaporar 1 kg de água à pressão do evaporador.

Passo 5

Energia necessária no evaporador: elevar a alimentação de T_F até a temperatura de ebulição e vaporizar a quantidade D.
  • Aquecimento sensível da alimentação (toda a massa F é aquecida de T_F até T_{\text{ebul}}):
Q_{\text{sens}} = F\;c_p\;(T_{\text{ebul}} - T_F).
Usando c_p\approx 1{,}0\\ \mathrm{kcal/(kg\;^\circ C)},
Q_{\text{sens}} = 9070\cdot 1{,}0\cdot(52{,}9 - 37{,}8) = 9070\cdot 15{,}1 \approx 136685\\ \mathrm{kcal/h}.
  • Calor necessário para vaporização da água evaporada D:
Q_{\text{lat}} = D\;\lambda_{\text{ebul}} = 5442\cdot 567{,}3 \approx 3087410\\ \mathrm{kcal/h}.
  • Calor total fornecido pelo vapor de aquecimento:
Q_{\text{total}} = Q_{\text{sens}} + Q_{\text{lat}} \approx 136685 + 3087410 = 3364095\\ \mathrm{kcal/h}.
(Arredondei as contas mantendo coerência numérica; valores intermediários mostrados com precisão adequada para cálculo em prova.)

Passo 6

Cálculo da quantidade de vapor consumido por hora. A suposição padrão: cada kg de vapor de aquecimento ao condensar libera aprox. \lambda_{\text{vapor}} kcal (condensação), então
m_{\text{vapor}} = \frac{Q_{\text{total}}}{\lambda_{\text{vapor}}}.
Substituindo:
m_{\text{vapor}} \approx \frac{3364095}{526{,}1} \approx 6389{,}3\\ \mathrm{kg/h}.
Portanto o vapor consumido é aproximadamente 6389{,}3\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 7

Cálculo da economia (eficiência de uso do vapor), definida aqui como massa de água evaporada por massa de vapor de aquecimento consumido:
\text{economia} = \frac{D}{m_{\text{vapor}}} = \frac{5442}{6389{,}3} \approx 0{,}852.
Interpretação simples: com cada kg de vapor de aquecimento obtém-se cerca de 0{,}852\\ \mathrm{kg} de água evaporada (menos que 1 porque parte do calor do vapor é gasto em aquecer toda a alimentação até a temperatura de ebulição).

Passo 8

Cálculo da área do trocador/evaporador usando a equação de transferência de calor (LMTD simplifica porque o vapor tem praticamente temperatura constante e a ebulição ocorre à temperatura constante):
  • Diferença de temperatura básica:
\Delta T = T_{\text{vapor}} - T_{\text{ebul}} = 125{,}5 - 52{,}9 = 72{,}6^\circ\mathrm{C}.
  • Equação:
Q_{\text{total}} = U\;A\;\Delta T \quad\Rightarrow\quad A = \frac{Q_{\text{total}}}{U\,\Delta T}.
Substituindo os valores (com U=1220{,}6\\ \mathrm{kcal/(m^2\;h\;^\circ C)}):
A \approx \frac{3364095}{1220{,}6\cdot 72{,}6} \approx \frac{3364095}{88626{,}8} \approx 37{,}9\\ \mathrm{m^2}.

Resposta

Vapor consumido: 6389{,}3\\ \mathrm{kg/h}
Economia: 0{,}852 (kg água evaporada / kg vapor)
Área do evaporador: 37{,}9\\ \mathrm{m^2}

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