Sem evoluir a transformada de Laplace, quais os valores inicial e final das funções, dadas as seguintes transformadas?
F(s)=\frac{s+a}{s^{2}}

Passo 1

O enunciado dá
F(s)=\frac{s+a}{s^{2}}
e pede os valores inicial f(0^+) e final f(\infty) da função f(t) correspondente, sem calcular a transformada inversa. Vamos usar o teorema do valor inicial e o teorema do valor final da transformada de Laplace.

Passo 2

O teorema do valor inicial afirma que
f(0^+) \;=\;\lim_{s\to\infty} s\,F(s).
Logo,
f(0^+) =\lim_{s\to\infty} s\;\frac{s+a}{s^{2}} =\lim_{s\to\infty}\frac{s+a}{s} =\lim_{s\to\infty}\bigl(1+\frac{a}{s}\bigr) =1.

Passo 3

O teorema do valor final diz que, se todos os polos de sF(s) têm parte real negativa,
f(\infty)=\lim_{s\to0} s\,F(s).
Aqui sF(s)=\frac{s(s+a)}{s^{2}}=\frac{s+a}{s}, que tem pólo simples em s=0 (no eixo imaginário), indicando instabilidade ou crescimento não limitado. Mesmo assim, calculando:
\lim_{s\to0} s\,F(s) =\lim_{s\to0}\frac{s(s+a)}{s^{2}} =\lim_{s\to0}\frac{s+a}{s} =\lim_{s\to0}\Bigl(\frac{a}{s}+1\Bigr),
que diverge para \pm\infty se a\neq0. Portanto não existe valor final finito.

Resposta

f(0^+)=1
f(\infty) não existe (diverge) quando a\neq0.

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