Ex-01: discorra sobre:
circuito RC - resistor-capacitor.

Passo 1

O enunciado pede para “discorra sobre” o circuito RC, isto é, o circuito formado por um resistor R em série com um capacitor C. O conteúdo aqui é análise de circuitos de primeira ordem, envolvendo resolução de equações diferenciais para regimes transientes (carga e descarga) e análise em regime permanente senoidal (resposta em frequência). Vamos precisar de leis de Kirchhoff, da definição de capacitância e da noção de impedância no domínio de frequência.

Passo 2

Análise no domínio do tempo: escrevemos a lei de Kirchhoff de tensões no circuito série R–C submetido a uma fonte de tensão v_{\text{in}}(t):
v_{\text{in}}(t) = v_R(t) + v_C(t).
Como v_R(t)=R\,i(t) e i(t)=C\,\frac{dv_C}{dt}, temos
v_{\text{in}}(t) = R\,C\,\frac{dv_C}{dt} + v_C(t).
Definindo a constante de tempo \tau = R\,C, obtemos a equação diferencial de primeira ordem
\tau\,\frac{dv_C}{dt} + v_C(t) = v_{\text{in}}(t).

Passo 3

Regime de carga (passo de tensão constante V\) aplicado em \(t=0\)): \[v_{\text{in}}(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\\ V, & t\ge0. \end{cases}
Para t\ge0\], resolvemos \[\tau\,\frac{dv_C}{dt} + v_C = V,\] cuja solução com condição inicial \(v_C(0)=0 é
v_C(t)=V\Bigl(1 - e^{-t/\tau}\Bigr).
A corrente correspondente é
i(t)=C\,\frac{dv_C}{dt}=\frac{V}{R}\,e^{-t/\tau}.

Passo 4

Regime de descarga (capacitor inicialmente carregado a V_0, fonte removida em t=0):
v_{\text{in}}(t)=0,\quad v_C(0)=V_0.
A equação fica
\tau\,\frac{dv_C}{dt} + v_C = 0,
com solução
v_C(t)=V_0\,e^{-t/\tau},\quad i(t)=-\frac{V_0}{R}\,e^{-t/\tau}.

Passo 5

Análise em regime permanente senoidal: substituímos R por R e C por impedância Z_C=\tfrac{1}{j\omega C}. A função de transferência de tensão no capacitor é
H(j\omega)=\frac{v_C}{v_{\text{in}}} =\frac{1/(j\omega C)}{R + 1/(j\omega C)} =\frac{1}{1 + j\omega R C} =\frac{1}{1 + j\,\omega\tau}.
A frequência de corte (–3 dB) é
\omega_c = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{R\,C}, \quad f_c = \frac{\omega_c}{2\pi} = \frac{1}{2\pi R C}.
Para \omega \ll \omega_c, H\approx1 (passa-baixas); para \omega\gg \omega_c, |H|\approx1/(\omega\tau) decai 20 dB/dec (primeira ordem).

Passo 6

Principais aplicações do circuito RC:
  1. Filtro passa-baixa de primeira ordem.
  2. Filtro passa-alta (invertendo a saída em R).
  3. Acoplamento de sinais DC (bloqueio de componente DC).
  4. Circuito integrador ou diferenciador aproximado em certas faixas de frequência.
  5. Temporizadores simples e redes de retardo de sinais (constante de tempo ajustável).

Resposta

O circuito RC série é um sistema de primeira ordem cuja dinâmica é governada pela equação
\tau\,\frac{dv_C}{dt} + v_C = v_{\text{in}}, \quad \tau = R\,C.
No regime transiente, a carga e descarga do capacitor seguem exponenciais com constante de tempo \tau. Em regime senoidal, atua como filtro de primeira ordem com função de transferência
H(j\omega)=\frac{1}{1 + j\,\omega\tau},
tendo frequência de corte \omega_c=1/\tau. Essas propriedades tornam o RC fundamental em filtragem, acoplamento, temporização e processamento analógico de sinais.

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