Ex-10: Um anel condutor circular de raio \boldsymbol{a} está localizado no plano- \boldsymbol{x y}, com o centro na origem. Um campo magnético não uniforme e variável no tempo é aplicado e descrito por \overrightarrow{\boldsymbol{B}}(\boldsymbol{t})=\boldsymbol{B}_{\mathbf{0}} \boldsymbol{\operatorname { s i n }}(\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{t}) \overrightarrow{\boldsymbol{k}}, onde \boldsymbol{B}_{\mathbf{0}} e \boldsymbol{\omega} são constantes. A densidade de corrente de condução no anel é \boldsymbol{J}(\boldsymbol{t})=\boldsymbol{J}_{0} \boldsymbol{\operatorname { s i n }}(\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{t}) \widehat{\boldsymbol{\varphi}}.
a) Aplique a Lei de Faraday, \oint_{C} \overrightarrow{\boldsymbol{E}} \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{d} \boldsymbol{\theta}}=-\frac{\boldsymbol{d} \boldsymbol{\varphi}_{\boldsymbol{B}}}{\boldsymbol{d} \boldsymbol{t}}, para encontrar o campo elétrico induzido \overrightarrow{\boldsymbol{E}} ao longo do anel.
b) Calcule a fem induzida \boldsymbol{\varepsilon} no anel.
c) Mostre que a integral \oiint_{S}(\overrightarrow{\boldsymbol{V}} \times \overrightarrow{\boldsymbol{E}}) \cdot d A∯ para a superfície do anel é \frac{\boldsymbol{d}}{\boldsymbol{d} \boldsymbol{t}}\left(\oiint_{S} \overrightarrow{\boldsymbol{\nabla}} \times \overrightarrow{\boldsymbol{E}} \cdot d \overrightarrow{\boldsymbol{A}}\right)∯,
Passo 1
O enunciado trata de um anel condutor de raio a, no plano xy, sujeito a um campo magnético não‐uniforme, porém só dependente do tempo,
onde \Phi_{B}=\iint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo magnético pelo disco de raio a. Em (b) a fem induzida \varepsilon. Em (c) mostrar a identidade
Pela simetria, o campo elétrico induzido \mathbf{E} é tangencial \hat\varphi e de módulo constante ao longo do anel. Seja E esse módulo. A integral de linha \oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\theta} vale
Essa derivada total do lado direito inclui a variação de \mathbf{E} e a variação geométrica de C. Mostra‐se então (ferramenta padrão de cálculo vetorial) que a contribuição da movimentação de C aparece como
(a) \displaystyle \mathbf{E}(t)=-\tfrac{a\,B_{0}\,\omega}{2}\,\cos(\omega t)\,\hat\varphi.
(b) \displaystyle \varepsilon(t)=-\pi a^{2}\,B_{0}\,\omega\,\cos(\omega t).
(c) Demonstrou‐se usando o Teorema de Stokes e o teorema de transporte de superfícies móveis que