Ex-10: Um anel condutor circular de raio \boldsymbol{a} está localizado no plano- \boldsymbol{x y}, com o centro na origem. Um campo magnético não uniforme e variável no tempo é aplicado e descrito por \overrightarrow{\boldsymbol{B}}(\boldsymbol{t})=\boldsymbol{B}_{\mathbf{0}} \boldsymbol{\operatorname { s i n }}(\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{t}) \overrightarrow{\boldsymbol{k}}, onde \boldsymbol{B}_{\mathbf{0}} e \boldsymbol{\omega} são constantes. A densidade de corrente de condução no anel é \boldsymbol{J}(\boldsymbol{t})=\boldsymbol{J}_{0} \boldsymbol{\operatorname { s i n }}(\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{t}) \widehat{\boldsymbol{\varphi}}.
a) Aplique a Lei de Faraday, \oint_{C} \overrightarrow{\boldsymbol{E}} \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{d} \boldsymbol{\theta}}=-\frac{\boldsymbol{d} \boldsymbol{\varphi}_{\boldsymbol{B}}}{\boldsymbol{d} \boldsymbol{t}}, para encontrar o campo elétrico induzido \overrightarrow{\boldsymbol{E}} ao longo do anel.
b) Calcule a fem induzida \boldsymbol{\varepsilon} no anel.
c) Mostre que a integral \oiint_{S}(\overrightarrow{\boldsymbol{V}} \times \overrightarrow{\boldsymbol{E}}) \cdot d A para a superfície do anel é \frac{\boldsymbol{d}}{\boldsymbol{d} \boldsymbol{t}}\left(\oiint_{S} \overrightarrow{\boldsymbol{\nabla}} \times \overrightarrow{\boldsymbol{E}} \cdot d \overrightarrow{\boldsymbol{A}}\right),

Passo 1

O enunciado trata de um anel condutor de raio a, no plano xy, sujeito a um campo magnético não‐uniforme, porém só dependente do tempo,
\mathbf{B}(t)=B_{0}\,\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf{k}}.
Pede‐se (a) o campo elétrico induzido \mathbf{E} ao longo do anel, usando a Lei de Faraday,
\oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\theta} \;=\; -\,\frac{d\Phi_{B}}{dt},
onde \Phi_{B}=\iint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo magnético pelo disco de raio a. Em (b) a fem induzida \varepsilon. Em (c) mostrar a identidade
\iint_{S}(\mathbf{V}\times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{A} \;=\; \frac{d}{dt}\!\Bigl(\iint_{S}(\nabla\times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{A}\Bigr),
onde \mathbf{V} é a velocidade de deformação do contorno C.

Passo 2

Calcular o fluxo magnético \Phi_{B} pelo disco de raio a. Como \mathbf{B} é uniforme sobre S e paralelo a \hat{\mathbf{k}},
\Phi_{B}(t) =\iint_{S}\mathbf{B}(t)\cdot d\mathbf{A} =B_{0}\,\sin(\omega t)\;\bigl(\pi a^{2}\bigr).
Logo
\frac{d\Phi_{B}}{dt} =\pi a^{2}\,B_{0}\,\omega\,\cos(\omega t).

Passo 3

Pela simetria, o campo elétrico induzido \mathbf{E} é tangencial \hat\varphi e de módulo constante ao longo do anel. Seja E esse módulo. A integral de linha \oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\theta} vale
\oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\theta} =E\;\bigl(2\pi a\bigr).
Pela Lei de Faraday,
E\,(2\pi a) =-\,\frac{d\Phi_{B}}{dt} =-\,\pi a^{2}B_{0}\,\omega\,\cos(\omega t).
Dá‐se, então,
E =-\,\frac{\pi a^{2}B_{0}\,\omega\,\cos(\omega t)}{2\pi a} =-\,\frac{a\,B_{0}\,\omega}{2}\,\cos(\omega t).
Portanto,
\boxed{ \mathbf{E}(t) =-\,\frac{a\,B_{0}\,\omega}{2}\,\cos(\omega t)\;\hat\varphi. }

Passo 4

A fem induzida \varepsilon é simplesmente a integral de linha de \mathbf{E} no contorno C:
\varepsilon =\oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\theta} =-\,\frac{a\,B_{0}\,\omega}{2}\,\cos(\omega t)\;\bigl(2\pi a\bigr) =-\,\pi a^{2}B_{0}\,\omega\,\cos(\omega t).
Logo
\boxed{ \varepsilon(t) =-\,\pi a^{2}B_{0}\,\omega\,\cos(\omega t). }

Passo 5

Vamos agora demonstrar a identidade de transporte de superfície para um contorno C que se move com velocidade de deformação \mathbf{V}.
  1. Pela Teorema de Stokes,
\iint_{S}(\nabla\times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{A} =\oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\theta}.
  1. Se C=C(t) varia com o tempo, a derivada total da integral de Stokes satisfaz a fórmula de Reynolds para superfícies móveis:
\frac{d}{dt}\!\!\Bigl(\iint_{S(t)}(\nabla\times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{A}\Bigr) = \frac{d}{dt}\!\Bigl(\oint_{C(t)}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\theta}\Bigr).
  1. Essa derivada total do lado direito inclui a variação de \mathbf{E} e a variação geométrica de C. Mostra‐se então (ferramenta padrão de cálculo vetorial) que a contribuição da movimentação de C aparece como
\oint_{C(t)}\bigl(\mathbf{V}\times \mathbf{E}\bigr)\cdot d\mathbf{A}_{\partial S},
onde d\mathbf{A}_{\partial S} é o vetor de área “elementar” associado ao deslocamento. Em última análise obtém‐se
\iint_{S}(\mathbf{V}\times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{A} \;=\; \frac{d}{dt}\!\Bigl(\iint_{S}(\nabla\times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{A}\Bigr).
Esse é justamente o enunciado da parte (c).

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(t)=-\tfrac{a\,B_{0}\,\omega}{2}\,\cos(\omega t)\,\hat\varphi.
(b) \displaystyle \varepsilon(t)=-\pi a^{2}\,B_{0}\,\omega\,\cos(\omega t).
(c) Demonstrou‐se usando o Teorema de Stokes e o teorema de transporte de superfícies móveis que
\iint_{S}(\mathbf{V}\times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{A} =\frac{d}{dt}\!\Bigl(\iint_{S}(\nabla\times \mathbf{E})\cdot d\mathbf{A}\Bigr).

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