Ex-12: escreva \overrightarrow{\boldsymbol{E}} e \overrightarrow{\boldsymbol{B}} em termos de \overrightarrow{\boldsymbol{A}} e \boldsymbol{\varphi}.

Passo 1

O enunciado pede para expressar o campo elétrico \overrightarrow{\boldsymbol{E}} e o campo magnético \overrightarrow{\boldsymbol{B}} em termos do potencial escalar \varphi e do potencial vetorial \overrightarrow{\boldsymbol{A}}. O conteúdo envolvido é a relação entre potenciais eletromagnéticos e campos, que usamos para garantir que as equações de Maxwell sejam satisfeitas automaticamente.

Passo 2

Para o campo magnético, lembramos que a lei de ausência de monopolos magnéticos impõe \nabla\cdot\overrightarrow{\boldsymbol{B}}=0. Um jeito de garantir isso é escrever \overrightarrow{\boldsymbol{B}} como o rotacional de um vetor, pois \nabla\cdot(\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{A}})=0 sempre vale. Logo:
\overrightarrow{\boldsymbol{B}} = \nabla \times \overrightarrow{\boldsymbol{A}}.

Passo 3

Para o campo elétrico, usamos a lei de Faraday \nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{E}} = -\,\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{B}}}{\partial t}. Se substituir \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{A}}, temos
\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{E}} = -\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times\overrightarrow{\boldsymbol{A}}\bigr) = -\,\nabla\times\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{A}}}{\partial t}.
Para que isso seja verdade, basta propor que \overrightarrow{\boldsymbol{E}} seja dado por um gradiente de escalar mais uma derivada temporal de \overrightarrow{\boldsymbol{A}}, já que \nabla\times(\nabla\varphi)=0. Assim:
\overrightarrow{\boldsymbol{E}} = -\nabla \varphi \;-\;\frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{A}}}{\partial t}.

Resposta

\overrightarrow{\boldsymbol{B}} = \nabla \times \overrightarrow{\boldsymbol{A}}, \qquad \overrightarrow{\boldsymbol{E}} = -\nabla \varphi - \frac{\partial \overrightarrow{\boldsymbol{A}}}{\partial t}.

Exercícios relacionados