Ex-11: Mostre que uma onda eletromagnética no vácuo satisfaz a equação
\nabla \cdot \vec{A}+\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{d \varphi}{d t}=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, em vácuo, uma onda eletromagnética cujos campos são dados por \vec E = -\nabla\varphi - \dfrac{\partial \vec A}{\partial t}
e \vec B = \nabla \times \vec A
satisfaz
\nabla \cdot \vec A \;+\;\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \varphi}{\partial t} \;=\;0.
Vamos usar as equações de Maxwell em vácuo sem cargas nem correntes:
\nabla\cdot\vec E = 0, \qquad \nabla\times\vec B = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec E}{\partial t}.

Passo 2

Substituindo \vec E = -\nabla\varphi - \dfrac{\partial \vec A}{\partial t} na lei de Gauss \nabla\cdot\vec E=0, obtemos
\nabla\cdot\Bigl(-\nabla\varphi - \frac{\partial \vec A}{\partial t}\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad -\nabla^2\varphi \;-\;\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\cdot \vec A\bigr)=0.
Ou seja,
\nabla^2\varphi + \frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\cdot \vec A\bigr)=0. \tag{1}

Passo 3

Agora insiro \vec B=\nabla\times\vec A e \vec E na lei de Ampère–Maxwell \nabla\times\vec B - \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \vec E}{\partial t}=0:
\nabla\times(\nabla\times \vec A) \;-\;\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(-\nabla\varphi - \frac{\partial \vec A}{\partial t}\Bigr)=0.
Usando o identidade vetorial \nabla\times(\nabla\times\vec A)=\nabla(\nabla\cdot\vec A)-\nabla^2\vec A, segue
\nabla(\nabla\cdot \vec A)\;-\;\nabla^2\vec A \;+\;\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\varphi\bigr) \;+\;\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^2 \vec A}{\partial t^2} =0. \tag{2}

Passo 4

Definimos
S \;=\;\nabla\cdot \vec A \;+\;\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \varphi}{\partial t}.
Para mostrar que S=0, fazemos:
  1. aplicar \nabla\cdot em (2),
  2. aplicar \partial/\partial t em (1),
  3. usar os resultados para eliminar \nabla^2\varphi e \nabla\cdot\vec A.
O cálculo leva à equação de onda homogênea
\nabla^2 S \;-\;\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial^2 S}{\partial t^2} \;=\;0.
Como consideramos uma onda em todo o espaço livre e assumimos condições de contorno nulas no infinito (nenhum guincho de gauge à distância), segue que a única solução para essa equação de onda homogênea, com valor inicial zero, é
S(\vec r,t)=0 \quad\forall\,\vec r,t.

Resposta

\nabla \cdot \vec A \;+\;\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \varphi}{\partial t} \;=\;0.

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