(ex. 6.14) Suponha que a fdp conjunta de ( X, Y ) seja dada por
f(x, y) & =e^-y, para x>0 e y>x & =0, para quaisquer outros valores
a. Ache a fdp marginal de X ;
b. Ache a fdp marginal de Y;
c. Calcule a P(X>2 mid Y=4).

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f(x,y)=e^-y, x>0,;y>x,
e pede (a) a marginal de X, (b) a marginal de Y e (c) a probabilidade condicional P(X>2mid Y=4). Vamos usar definição de marginais por integração e definição de densidade condicional.

Passo 2

Para achar a marginal de X usamos
fX(x)=integral-infty^inftyf(x,y),dy
Mas f(x,y)neq0 apenas quando y>x, logo
fX(x)=integraly=x^inftye^-y,dy
Calculando a integral,
integralx^inftye^-y,dy=l[-e^-yr]y=x^y=infty=e^-x
Portanto
fX(x)=e^-x, x>0

Passo 3

Para a marginal de Y usamos
fY(y)=integral-infty^inftyf(x,y),dx
Aqui f(x,y)neq0 apenas para 0<x<y, então
fY(y)=integralx=0^x=ye^-y,dx=e^-y,(y-0)=y,e^-y,
válido para y>0.

Passo 4

A densidade condicional de X dado Y=y é
fXmid Y(xmid y)=f(x,y)fY(y)
para 0<x<y. Em particular, para y=4,
fXmid Y(xmid 4)=e^-44,e^-4=14, 0<x<4
Logo
P(X>2mid Y=4) =integral2^414,dx =4-24=12

Resposta

a. fX(x)=e^-x para x>0.
b. fY(y)=y,e^-y para y>0.
c. P(X>2mid Y=4)=tfrac12

Exercícios relacionados