Ex 1 Um sinal analógico f(t) foi coletado a f_{s}=2 \mathrm{~Hz}. Para cada caso a seguir, indique duas outras funções senoidais que seriam indistinguíveis de f(t) a partir das amostras coletadas. Além disto, indique qual a frequência de amostragem mínima que deve ser utilizada para que a coleta de dados obedeça o critério de Nyquist. f(t)=\sin (2 \pi t)
Passo 1
O enunciado dá claramente:
Sinal contínuo f(t)=\sin(2\pi t).
Frequência de amostragem usada f_{s}=2\\ \mathrm{Hz}.
O que é pedido:
Indicar duas outras funções senoidais (diferentes de f(t)) que seriam indistinguíveis de f(t) a partir das amostras coletadas com f_{s}=2\\ \mathrm{Hz}.
Indicar a frequência de amostragem mínima que deve ser utilizada para que a coleta de dados obedeça o critério de Nyquist.
Passo 2
Entendendo as amostras: a cada T=\dfrac{1}{f_{s}} segundos obtemos uma amostra. Aqui
T=\frac{1}{2}=0{,}5\\ \mathrm{s}.
As instantes de amostragem são t_n=nT=\dfrac{n}{2} para n\in\mathbb{Z}.
Passo 3
Calcular a sequência de amostras de f(t). Tomando t=n/2,
Ou seja: todas as amostras são iguais a zero. Esse é um ponto importante — da sequência amostrada não conseguimos ver a forma contínua original, apenas recebemos a sequência constante zero.
Passo 4
Consequência prática (intuição): qualquer sinal contínuo cuja sequência de amostras seja a mesma (aqui, toda a sequência nula) será indistinguível a partir das amostras. Precisamos achar outras senóides que, ao serem avaliadas em t=n/2, também gerem zero para todo n.
Passo 5
Condição para que uma senoide \sin(2\pi f' t) tenha amostras nulas em t=n/2: queremos
\sin\!\left(2\pi f' \cdot \frac{n}{2}\right)=0\quad\forall n\in\mathbb{Z}.
Isto exige que \dfrac{2 f'}{f_{s}}=\dfrac{2 f'}{2}=f' seja inteiro, ou seja
Para f_{s}=2 obtemos f'=k\\ \mathrm{Hz}. Em outras palavras, qualquer senoide com frequência inteira em Hz tem amostras nulas nos instantes t=n/2.
Passo 6
Outra forma útil (aliasing geral): somar um inteiro múltiplo de f_{s} a uma frequência não altera os valores amostrados, porque
\sin\!\big(2\pi(f+m f_{s})t\big)\Big|_{t=nT}=\sin\!\left(2\pi f\frac{n}{f_{s}}+2\pi m n\right)=\sin\!\left(2\pi f\frac{n}{f_{s}}\right),
pois 2\pi m n é múltiplo inteiro de 2\pi. Logo frequências da forma f'=f+m f_{s} são aliased (indistinguíveis nas amostras). No nosso caso f=1\\ \mathrm{Hz} e f_{s}=2\\ \mathrm{Hz}, então f'=1+2m (por exemplo 3,5,7,\dots Hz) dão os mesmos valores amostrados que a original.
Passo 7
Escolhendo duas funções explícitas distintas de f(t) (exemplos simples e diretos) que produzem a mesma sequência de amostras:
\sin\!\big(2\pi\cdot 3\,t\big). Aqui 3=1+2\cdot1, e nas amostras
\sin\!\left(2\pi\cdot 3\cdot\frac{n}{2}\right)=\sin(3\pi n)=0\quad\forall n.
\sin\!\big(2\pi\cdot 5\,t\big). Aqui 5=1+2\cdot2, e nas amostras
\sin\!\left(2\pi\cdot 5\cdot\frac{n}{2}\right)=\sin(5\pi n)=0\quad\forall n.
Ambas são funções contínuas diferentes de \sin(2\pi t) mas, a partir das amostras coletadas com f_{s}=2\\ \mathrm{Hz}, são indistinguíveis (todas produzem sequência nula).
Passo 8
Comentário didático sobre por que isso aconteceu (resumindo o conceito): a frequência angular normalizada do sinal para o domínio discreto é \omega=2\pi \dfrac{f}{f_{s}}. Aqui \omega=\pi (igual a \pi rad/amostra), que corresponde ao ponto de Nyquist (metade da frequência de amostragem). Amostrar exatamente na fronteira (quando f=f_{s}/2) é uma situação degenerada: muitos sinais contínuos diferentes colapsam numa mesma sequência discreta.
Passo 9
Critério de Nyquist (frequência mínima): para evitar aliasing e poder reconstruir sem ambiguidade um sinal com componente máxima de frequência F_{\max} é preciso
f_{s,\min}=2F_{\max}.
No nosso caso F_{\max}=1\\ \mathrm{Hz} (o sinal é uma senoide de 1\\ \mathrm{Hz}), portanto
f_{s,\min}=2\cdot 1=2\\ \mathrm{Hz}.
Observação prática: amostrar exatamente em f_{s}=2\\ \mathrm{Hz} é o caso-limite; para evitar degenerescências práticas (como a sequência nula que ocorreu) é recomendado escolher f_{s} um pouco maior que 2\\ \mathrm{Hz}.
Resposta
\sin\!\big(2\pi\cdot 3\,t\big) e \sin\!\big(2\pi\cdot 5\,t\big)\n f_{s,\min}=2\\ \mathrm{Hz}