Ex 1 Um sinal analógico
foi coletado a
. Para cada caso a seguir, indique duas outras funções senoidais que seriam indistinguíveis de
a partir das amostras coletadas. Além disto, indique qual a frequência de amostragem mínima que deve ser utilizada para que a coleta de dados obedeça o critério de Nyquist.
Passo 1
O enunciado dá as informações e pede o seguinte:
- Dado: a função analógica
foi amostrada com taxa . - Pedidos:
- Indicar duas outras funções senoidais que seriam indistinguíveis de
a partir das amostras coletadas (isto é, produzem a mesma sequência de amostras). - Indicar a frequência de amostragem mínima que deve ser utilizada para que a coleta obedeça o critério de Nyquist.
- Indicar duas outras funções senoidais que seriam indistinguíveis de
Passo 2
Entendendo o que significa “indistinguível por amostragem” e os parâmetros fundamentais.
- Amostras ocorrem nos instantes
, com o período de amostragem. Aqui
- A frequência angular de amostragem (em rad/s) é
- A frequência angular da senóide original é
. Podemos também escrever a frequência em Hz:
Conceito chave (explicado devagar): quando se amostra uma senóide contínua, as frequências ficam definidas apenas módulo da frequência de amostragem; mais precisamente, adicionar um múltiplo inteiro de
à frequência angular não altera os valores das amostras, porque
. Há também a ambiguidade de mudar o sinal da frequência (frequência negativa), que pode ser compensada por ajuste de fase usando a identidade
.
Vou usar essas ideias para construir funções alternativas que coincidem em todos os instantes
.
Passo 3
Construção da primeira função indistinguível (adição de
sem alterar a fase).
- Considere a frequência angular
. - Defina a função
Verificação de por que é indistinguível nas amostras: para
,
e como
para inteiro
, tem-se
Logo
produz exatamente as mesmas amostras que
.
- Valores numéricos úteis:
Passo 4
Construção da segunda função indistinguível (reflexão da frequência com ajuste de fase).
Há também a ambiguidade entre
e
. Para que as amostras coincidam é preciso ajustar a fase usando a identidade
. Procedimento:
- Escolha
. - Queremos uma fase
tal que, para todo inteiro ,
Usando
, uma escolha que funciona é
porque então
e aplicando
obtemos igualdade com
.
- Portanto a segunda função indistinguível é
- Valores numéricos:
Observação intuitiva:
tem frequência próxima a
(porque
), e a fase foi ajustada para “virar” a senoide de modo que as amostras coincidam.
Passo 5
Resumo e confirmação rápida das duas funções distintas encontradas:
- Primeira alternativa (adição de
, mesma fase):
- Segunda alternativa (reflexão da frequência e ajuste de fase):
Ambas produzem a mesma sequência de amostras
que a senóide original.
Passo 6
Frequência de amostragem mínima segundo o critério de Nyquist.
- O critério de Nyquist pede que a taxa de amostragem seja pelo menos o dobro da maior frequência (em Hz) presente no sinal:
. - Aqui o único componente tem frequência
. - Portanto a frequência de amostragem mínima (limite de Nyquist) é
- Observação: normalmente em prática se toma um pouco acima do valor teórico para tolerâncias, mas o valor teórico mínimo é
.