Ex 1 Um sinal analógico f(t) foi coletado a f_{s}=2 \mathrm{~Hz}. Para cada caso a seguir, indique duas outras funções senoidais que seriam indistinguíveis de f(t) a partir das amostras coletadas. Além disto, indique qual a frequência de amostragem mínima que deve ser utilizada para que a coleta de dados obedeça o critério de Nyquist.
f(t)=\sin (0.7 t+0.2)

Passo 1

O enunciado dá as informações e pede o seguinte:
  • Dado: a função analógica \displaystyle f(t)=\sin\bigl(0,7\,t+0,2\bigr) foi amostrada com taxa \displaystyle f_s=2\\ \mathrm{Hz}.
  • Pedidos:
    1. Indicar duas outras funções senoidais que seriam indistinguíveis de f(t) a partir das amostras coletadas (isto é, produzem a mesma sequência de amostras).
    2. Indicar a frequência de amostragem mínima que deve ser utilizada para que a coleta obedeça o critério de Nyquist.

Passo 2

Entendendo o que significa “indistinguível por amostragem” e os parâmetros fundamentais.
  • Amostras ocorrem nos instantes \displaystyle t_n=nT_s, com \displaystyle T_s=\dfrac{1}{f_s} o período de amostragem. Aqui
T_s=\dfrac{1}{2}=0,5\\ \mathrm{s}.
  • A frequência angular de amostragem (em rad/s) é
\omega_s=2\pi f_s=2\pi\cdot 2=4\pi\\ \text{rad/s}.
  • A frequência angular da senóide original é \displaystyle \omega_0=0,7\\ \text{rad/s}. Podemos também escrever a frequência em Hz:
f_0=\dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{0,7}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx 0,1114\\ \mathrm{Hz}.
Conceito chave (explicado devagar): quando se amostra uma senóide contínua, as frequências ficam definidas apenas módulo da frequência de amostragem; mais precisamente, adicionar um múltiplo inteiro de \omega_s à frequência angular não altera os valores das amostras, porque \sin\bigl((\omega_0+m\omega_s) nT_s+\varphi\bigr)=\sin\bigl(\omega_0 nT_s+\varphi + m 2\pi n\bigr)=\sin(\omega_0 nT_s+\varphi). Há também a ambiguidade de mudar o sinal da frequência (frequência negativa), que pode ser compensada por ajuste de fase usando a identidade \sin(\pi-x)=\sin x.
Vou usar essas ideias para construir funções alternativas que coincidem em todos os instantes t_n=nT_s.

Passo 3

Construção da primeira função indistinguível (adição de \omega_s sem alterar a fase).
  • Considere a frequência angular \displaystyle \omega_1=\omega_0+\omega_s=0,7+4\pi.
  • Defina a função
g_1(t)=\sin\bigl((0,7+4\pi)\,t+0,2\bigr).
Verificação de por que é indistinguível nas amostras: para t=nT_s,
(0,7+4\pi)nT_s+0,2=0,7\,nT_s+4\pi nT_s+0,2=0,7\,nT_s+2\pi n+0,2,
e como \sin(\theta+2\pi n)=\sin\theta para inteiro n, tem-se
g_1(nT_s)=\sin(0,7\,nT_s+0,2)=f(nT_s).
Logo g_1(t) produz exatamente as mesmas amostras que f(t).
  • Valores numéricos úteis:
\omega_1=0,7+4\pi\approx 13,266\\ \text{rad/s}, \qquad f_1=\dfrac{\omega_1}{2\pi}\approx 2,112\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Construção da segunda função indistinguível (reflexão da frequência com ajuste de fase).
Há também a ambiguidade entre \omega_0 e -\omega_0. Para que as amostras coincidam é preciso ajustar a fase usando a identidade \sin(\pi-x)=\sin x. Procedimento:
  • Escolha \omega_2=-\omega_0+\omega_s=-0,7+4\pi.
  • Queremos uma fase \phi_2 tal que, para todo inteiro n,
\sin(\omega_2 nT_s+\phi_2)=\sin(\omega_0 nT_s+0,2).
Usando \omega_2 nT_s = -\omega_0 nT_s + 2\pi n, uma escolha que funciona é
\phi_2=\pi-0,2,
porque então
\omega_2 nT_s+\phi_2 = -\omega_0 nT_s +2\pi n +\pi-0,2,
e aplicando \sin(2\pi n+\pi - x)=\sin(\pi-x)=\sin x obtemos igualdade com \sin(\omega_0 nT_s+0,2).
  • Portanto a segunda função indistinguível é
g_2(t)=\sin\bigl((-0,7+4\pi)\,t+\bigl(\pi-0,2\bigr)\bigr).
  • Valores numéricos:
\omega_2=-0,7+4\pi\approx 11,866\\ \text{rad/s}, \qquad f_2=\dfrac{\omega_2}{2\pi}\approx 1,888\\ \mathrm{Hz}.
Observação intuitiva: g_2 tem frequência próxima a f_s-f_0 (porque -f_0+f_s=f_s-f_0), e a fase foi ajustada para “virar” a senoide de modo que as amostras coincidam.

Passo 5

Resumo e confirmação rápida das duas funções distintas encontradas:
  • Primeira alternativa (adição de \omega_s, mesma fase):
g_1(t)=\sin\bigl((0,7+4\pi)\,t+0,2\bigr).
  • Segunda alternativa (reflexão da frequência e ajuste de fase):
g_2(t)=\sin\bigl((-0,7+4\pi)\,t+(\pi-0,2)\bigr).
Ambas produzem a mesma sequência de amostras \{f(nT_s)\}_{n\in\mathbb{Z}} que a senóide original.

Passo 6

Frequência de amostragem mínima segundo o critério de Nyquist.
  • O critério de Nyquist pede que a taxa de amostragem seja pelo menos o dobro da maior frequência (em Hz) presente no sinal: \displaystyle f_s\ge 2 f_{\max}.
  • Aqui o único componente tem frequência \displaystyle f_0=\dfrac{0,7}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx0,1114\\ \mathrm{Hz}.
  • Portanto a frequência de amostragem mínima (limite de Nyquist) é
f_{s,\min}=2f_0=\dfrac{0,7}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx 0,2228\\ \mathrm{Hz}.
  • Observação: normalmente em prática se toma um pouco acima do valor teórico para tolerâncias, mas o valor teórico mínimo é \dfrac{0,7}{\pi}\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

\displaystyle \sin\bigl((0,7+4\pi)\,t+0,2\bigr)
\displaystyle \sin\bigl((-0,7+4\pi)\,t+(\pi-0,2)\bigr)
\displaystyle f_{s,\min}=2\cdot\dfrac{0,7}{2\pi}=\dfrac{0,7}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx 0,2228\\ \mathrm{Hz}

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