(Ex2, III.6, pg153) Determine as coordenadas dos centros de massa das regiões R abaixo, com as densidades de massa dadas:
b) R é o disco x^{2}+y^{2} \leq a^{2} e a densidade de massa é \partial(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. (classe)

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa (\bar x,\bar y) de uma lâmina ocupando o disco
R: x^{2}+y^{2}\le a^{2}
com densidade \partial(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Para lâminas planas em coordenadas cartesianas vale
\bar x=\frac{1}{M}\iint_{R}x\,\partial(x,y)\,dA, \quad \bar y=\frac{1}{M}\iint_{R}y\,\partial(x,y)\,dA,
onde
M=\iint_{R}\partial(x,y)\,dA
é a massa total. Como \partial e a região são radiais, usaremos coordenadas polares: \displaystyle x=r\cos\theta, \displaystyle y=r\sin\theta, \displaystyle \partial=r, \displaystyle dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Calcular a massa total
M =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a}r\cdot\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a}r^{2}\,dr\,d\theta =2\pi\;\frac{a^{3}}{3} =\frac{2\pi a^{3}}{3}.

Passo 3

Calcular os momentos:
\iint_{R}x\,\partial\,dA =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a}(r\cos\theta)\,r\,(r\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta \int_{0}^{a}r^{3}\,dr =0,
pois \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0. Analogamente \displaystyle\iint_{R}y\,\partial\,dA=0.
Logo
\bar x=\frac{0}{M}=0, \quad \bar y=\frac{0}{M}=0.

Resposta

(\bar x,\bar y)=(0,0).

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