(Ex2, III.6, pg153) Determine as coordenadas dos centros de massa das regiões R abaixo, com as densidades de massa dadas:
c) R é a parte superior do disco centrado na origem de raio a, a>0 com densidade de massa constante.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e identificar o que precisamos.
A região R é a metade superior do disco de raio a>0 centrado na origem, e a densidade de massa é constante, digamos \delta. Queremos encontrar o centro de massa \bigl(\bar x,\bar y\bigr) dessa região. Para isso, vamos usar fórmulas de centroides em duas dimensões e coordenadas polares, que são naturais para discos.

Passo 2

Calculamos a massa total m de R. Como a densidade é constante \delta, temos
m = \iint_{R}\delta\,dA = \delta \cdot \bigl(\text{área de }R\bigr).á
A área de R é metade da área de um disco de raio a, ou seja
\text{área}(R) = \frac{1}{2}\pi a^2,á
logo
m = \delta\,\frac{\pi a^2}{2}.

Passo 3

Pela simetria de R em relação ao eixo y, a coordenada x do centro de massa é zero:
\bar x = 0.

Passo 4

Para \bar y, usamos a definição
\bar y = \frac{1}{m}\iint_{R} y\,\delta\,dA.
Em coordenadas polares (r,\theta), temos y = r\sin\theta e dA = r\,dr\,d\theta. A região R corresponde a 0\le r\le a e 0\le\theta\le\pi. Assim,
\iint_{R} y\,\delta\,dA = \delta \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{a} (r\sin\theta)\,(r\,dr\,d\theta) = \delta \int_{0}^{\pi}\sin\theta\;d\theta \int_{0}^{a}r^2\,dr.
Calculando separadamente,
\int_{0}^{a}r^2\,dr = \frac{a^3}{3}, \qquad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta = 2.
Logo,
\iint_{R} y\,\delta\,dA = \delta \,\frac{a^3}{3}\cdot 2 = \frac{2\delta\,a^3}{3}.
Portanto
\bar y = \frac{1}{m}\,\frac{2\delta\,a^3}{3} = \frac{2\delta\,a^3/3}{\delta\,\pi a^2/2} = \frac{2a^3/3}{\pi a^2/2} = \frac{4a}{3\pi}.

Resposta

\boxed{\bigl(\bar x,\bar y\bigr) = \Bigl(0,\;\frac{4a}{3\pi}\Bigr)}.

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