Um exame de laboratório tem probabilidade de 0,95 de resultar positivo se uma pessoa sofre de determinada doença (positivo verdadeiro) e probabilidade de 0,10 de resultar em positivo mesmo se a pessoa não sofre dessa doença (positivo falso). Estima-se que 0,5 \% da população tenha referida doença. Suponha que o exame seja administrado a uma pessoa sobre a qual nada de relevante se sabe sobre a presença ou não da doença. Calcule as probabilidade de que
(a) o resultado seja positivo.
(b) dado que o resultado foi positivo, a pessoa tenha a doença.
(c) dado que o resultado foi negativo, a pessoa não tenha a doença.
(d) o resultado esteja errado.

Passo 1

O enunciado descreve um exame diagnóstico com as seguintes probabilidades: sensibilidade \,P(+\mid D)=0,95, taxa de falso positivo \,P(+\mid D^c)=0,10 e prevalência da doença \,P(D)=0,005. Queremos usar a fórmula da probabilidade total e o Teorema de Bayes para calcular:
(a) P(+),
(b) P(D\mid +),
(c) P(D^c\mid -),
(d) probabilidade de erro do exame.

Passo 2

Calculamos P(+) pela fórmula da probabilidade total:
P(+) = P(+\mid D)\,P(D) + P(+\mid D^c)\,P(D^c).
Substituindo os valores:
P(+) = 0,95 \times 0,005 + 0,10 \times 0,995 = 0,00475 + 0,09950 = 0,10425.

Passo 3

Para achar P(D\mid +) usamos o Teorema de Bayes:
P(D\mid +) = \frac{P(+\mid D)\,P(D)}{P(+)} = \frac{0,95 \times 0,005}{0,10425} = \frac{0,00475}{0,10425} \approx 0,04555.

Passo 4

Primeiro achamos P(-) pela probabilidade total:
P(-) = 1 - P(+) = 1 - 0,10425 = 0,89575.
Então aplicamos Bayes para P(D^c\mid -):
P(D^c\mid -) = \frac{P(-\mid D^c)\,P(D^c)}{P(-)} = \frac{0,90 \times 0,995}{0,89575} = \frac{0,89550}{0,89575} \approx 0,99972.

Passo 5

A probabilidade do exame estar errado é a soma das probabilidades dos dois tipos de erro: falso positivo e falso negativo.
Falso positivo: P(+\mid D^c)P(D^c)=0,10\times0,995=0,09950.
Falso negativo: P(-\mid D)P(D)=0,05\times0,005=0,00025.
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P(\text{erro}) = 0,09950 + 0,00025 = 0,09975.

Resposta

(a) P(+)=0,10425.
(b) P(D\mid +)\approx0,04555.
(c) P(D^c\mid -)\approx0,99972.
(d) P(\text{exame errado})=0,09975.

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