Um exame de laboratório tem probabilidade de 0,95 de resultar positivo se uma pessoa sofre de determinada doença (positivo verdadeiro) e probabilidade de 0,10 de resultar em positivo mesmo se a pessoa não sofre dessa doença (positivo falso). Estima-se que
da população tenha referida doença. Suponha que o exame seja administrado a uma pessoa sobre a qual nada de relevante se sabe sobre a presença ou não da doença. Calcule as probabilidade de que
(a) o resultado seja positivo.
(b) dado que o resultado foi positivo, a pessoa tenha a doença.
(c) dado que o resultado foi negativo, a pessoa não tenha a doença.
(d) o resultado esteja errado.
(a) o resultado seja positivo.
(b) dado que o resultado foi positivo, a pessoa tenha a doença.
(c) dado que o resultado foi negativo, a pessoa não tenha a doença.
(d) o resultado esteja errado.
Passo 1
O enunciado descreve um exame diagnóstico com as seguintes probabilidades: sensibilidade
, taxa de falso positivo
e prevalência da doença
. Queremos usar a fórmula da probabilidade total e o Teorema de Bayes para calcular:
(a) ,
(b) ,
(c) ,
(d) probabilidade de erro do exame.
(a)
(b)
(c)
(d) probabilidade de erro do exame.
Passo 2
Calculamos
pela fórmula da probabilidade total:
Substituindo os valores:
Passo 3
Para achar
usamos o Teorema de Bayes:
Passo 4
Primeiro achamos
pela probabilidade total:
Então aplicamos Bayes para
:
Passo 5
A probabilidade do exame estar errado é a soma das probabilidades dos dois tipos de erro: falso positivo e falso negativo.
Falso positivo: .
Falso negativo: .
Logo
Falso positivo:
Falso negativo:
Logo
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) .
(b)
(c)
(d)