Um exame de sangue tem uma probabilidade de 99 \% de detectar uma doença se ela estiver presente em um paciente. Porém esse exame também tem uma probabilidade de 2 \% de detectar um falso positivo em um paciente que não tem a doença. Se a incidência dessa doença na população for de 40 \%, qual é a probabilidade que uma pessoa esteja doente se ela recebe um resultado positivo nesse exame?

Passo 1

O enunciado descreve um teste de sangue para detectar uma doença. As informações são:
– Sensibilidade (probabilidade de detectar a doença em quem de fato tem) \,P(\text{Positivo}\mid D)=0,99.
– Taxa de falso positivo (probabilidade de dar positivo em quem não tem) \,P(\text{Positivo}\mid D^c)=0,02.
– Prevalência da doença na população \,P(D)=0,40, logo P(D^c)=0,60.
O que queremos é a probabilidade de a pessoa estar doente dado que o exame saiu positivo, ou seja
P(D\mid \text{Positivo}).

Passo 2

Para usar o Teorema de Bayes, primeiro calculamos a probabilidade total de um resultado positivo:
P(\text{Positivo}) = P(\text{Positivo}\mid D)\,P(D) + P(\text{Positivo}\mid D^c)\,P(D^c).

Passo 3

Substituindo os valores numéricos:
P(\text{Positivo}) = 0,99 \times 0,40 \;+\; 0,02 \times 0,60 = 0,396 \;+\; 0,012 = 0,408.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Bayes:
P(D\mid \text{Positivo}) = \frac{P(\text{Positivo}\mid D)\,P(D)}{P(\text{Positivo})} = \frac{0,99 \times 0,40}{0,408} = \frac{0,396}{0,408} \approx 0,9706.

Resposta

A probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que o exame deu positivo é de aproximadamente 97{,}06\%.

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