Uma determinada espécie de pássaro adota um comportamento altamente territorial, de forma que quando 2 indivíduos da mesma espécie estão em uma mesma região, tipicamente se trata de um casal (um macho e uma fêmea). Mais precisamente, a chance que 2 pássaros encontrados em uma mesma região sejam de sexos diferentes é de 60 \%. Sabemos também que 60 \% dos indivíduos dessa espécie são fêmeas. Considere a situação em que um desses pássaros é observado e examinandoo observamos que se trata de um macho. Logo depois observamos um outro pássaro da mesma espécie. Qual a probabilidade que esse segundo pássaro também seja um macho?

Passo 1

O enunciado fala de dois pássaros encontrados na mesma região. Definimos os eventos ordenados
(M,M), (M,F), (F,M), (F,F) como “primeiro pássaro sexo X e segundo pássaro sexo Y”.
Sabemos:
  1. A probabilidade de serem de sexos diferentes é
P\bigl((M,F)\bigr) + P\bigl((F,M)\bigr) = 0{,}6.
  1. A proporção de fêmeas na população é
P(\text{um pássaro aleatório é fêmea}) = 0{,}6.áóéê
Queremos
P\bigl(\text{segundo é macho}\mid \text{primeiro é macho}\bigr) =P\bigl(M_2\mid M_1\bigr).éé

Passo 2

Usamos a informação de população para achar P(F,F). De fato,
P(\text{primeiro é fêmea}) = P\bigl((F,F)\bigr) + P\bigl((F,M)\bigr) = 0{,}6.éê
Mas como P\bigl((F,M)\bigr) é metade da probabilidade de sexos diferentes (pela troca de ordem), temos
P\bigl((F,M)\bigr)=P\bigl((M,F)\bigr)=\frac{0{,}6}{2}=0{,}3.
Logo
P\bigl((F,F)\bigr) + 0{,}3 = 0{,}6 \quad\Longrightarrow\quad P\bigl((F,F)\bigr)=0{,}3.

Passo 3

Como a soma das quatro probabilidades é 1 e já conhecemos três delas, calculamos
P\bigl((M,M)\bigr) =1 - \bigl[P(M,F)+P(F,M)+P(F,F)\bigr] =1 - (0{,}3+0{,}3+0{,}3) =0{,}1.

Passo 4

Finalmente, a probabilidade condicional de interesse é
P\bigl(M_2\mid M_1\bigr) =\frac{P\bigl((M,M)\bigr)}{P\bigl(\text{primeiro é macho}\bigr)} =\frac{0{,}1}{P(M_1)}.é
Mas P(M_1)=1-P(\text{primeiro é fêmea})=1-0{,}6=0{,}4éê.
Portanto
P\bigl(M_2\mid M_1\bigr) =\frac{0{,}1}{0{,}4} =0{,}25.

Resposta

A probabilidade de que o segundo pássaro também seja macho é 0{,}25 (ou 25%).

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