Dos exames feitos por um laboratório para detectar uma certa doença,
têm resultado negativo e
têm resultado positivo. Dos exames com resultado negativo, 95% realmente não têm a doença e 5% têm a doença. Dos exames com resultado positivo,
realmente têm a doença e
não têm a doença. De todos os exames
realizados por esse laboratório, a porcentagem daqueles que correspondem a pessoas que realmente têm a doença é:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
realizados por esse laboratório, a porcentagem daqueles que correspondem a pessoas que realmente têm a doença é:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (peguei todos estes números do enunciado):
- A porcentagem de exames com resultado negativo é
(ou ). - A porcentagem de exames com resultado positivo é
(ou ). - Entre os exames com resultado negativo, a fração que realmente têm a doença é
(ou ). - Entre os exames com resultado positivo, a fração que realmente têm a doença é
(ou ).
- A porcentagem de exames com resultado negativo é
-
O que o enunciado pede:
- A porcentagem de todos os exames realizados que correspondem a pessoas que realmente têm a doença, isto é,
em porcentagem.
- A porcentagem de todos os exames realizados que correspondem a pessoas que realmente têm a doença, isto é,
Passo 2
Definir notação e o conceito que vamos usar (explicação didática).
-
Notação:
-
= evento “exame com resultado positivo”. -
= evento “exame com resultado negativo”. -
= evento “pessoa realmente tem a doença”. -
= evento “pessoa não tem a doença”.
-
-
Conceito (intuição e fórmula):
- A fórmula que precisamos é a Lei da Probabilidade Total aplicada à partição pelos resultados do exame. Em palavras: a fração total de pessoas com a doença é a soma da fração de doentes entre os negativos mais a fração de doentes entre os positivos, ponderadas pelas frações de negativos e positivos no total.
- Em fórmula:
- Explicando:
é “dentre os negativos, quantos têm a doença”; multiplicando por dá a contribuição absoluta (na população total) dos negativos que têm a doença. Mesma ideia para o termo dos positivos. Somando os dois termos obtemos a proporção total de doentes.
Passo 3
Substituir os números dados na fórmula e calcular cada termo (passo a passo aritmético).
- Primeiro termo (contribuição dos negativos):
Calcular com cuidado:
Isto significa
da população total.
- Segundo termo (contribuição dos positivos):
Calcular:
Isto significa
da população total.
Passo 4
Somar as contribuições para obter a porcentagem total de pessoas que realmente têm a doença.
Converter para porcentagem:
Interpretação curta e incentivo: então apenas
dos exames realizados correspondem a pessoas que realmente têm a doença — menos do que parece à primeira vista quando só olhamos para os positivos. Boa! Isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai muito na prova: montar a soma ponderada (lei da probabilidade total) e calcular termo a termo.
Resposta
e)