Dos exames feitos por um laboratório para detectar uma certa doença, 90 \% têm resultado negativo e 10 \% têm resultado positivo. Dos exames com resultado negativo, 95% realmente não têm a doença e 5% têm a doença. Dos exames com resultado positivo, 80 \% realmente têm a doença e 20 \% não têm a doença. De todos os exames
realizados por esse laboratório, a porcentagem daqueles que correspondem a pessoas que realmente têm a doença é:
a) 82,5 \%;
b) 75,0 \%;
c) 35,5 \%;
d) 27,5 \%;
e) 12,5 \%.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei todos estes números do enunciado):
    • A porcentagem de exames com resultado negativo é P(T_-)=0,90 (ou 90\%).
    • A porcentagem de exames com resultado positivo é P(T_+)=0,10 (ou 10\%).
    • Entre os exames com resultado negativo, a fração que realmente têm a doença é P(D\mid T_-)=0,05 (ou 5\%).
    • Entre os exames com resultado positivo, a fração que realmente têm a doença é P(D\mid T_+)=0,80 (ou 80\%).
  • O que o enunciado pede:
    • A porcentagem de todos os exames realizados que correspondem a pessoas que realmente têm a doença, isto é, P(D) em porcentagem.

Passo 2

Definir notação e o conceito que vamos usar (explicação didática).
  • Notação:
    • T_+ = evento “exame com resultado positivo”.
    • T_- = evento “exame com resultado negativo”.
    • D = evento “pessoa realmente tem a doença”.
    • D^{c} = evento “pessoa não tem a doença”.
  • Conceito (intuição e fórmula):
    • A fórmula que precisamos é a Lei da Probabilidade Total aplicada à partição pelos resultados do exame. Em palavras: a fração total de pessoas com a doença é a soma da fração de doentes entre os negativos mais a fração de doentes entre os positivos, ponderadas pelas frações de negativos e positivos no total.
    • Em fórmula:
    P(D)=P(D\mid T_-)\,P(T_-)+P(D\mid T_+)\,P(T_+).
    • Explicando: P(D\mid T_-) é “dentre os negativos, quantos têm a doença”; multiplicando por P(T_-) dá a contribuição absoluta (na população total) dos negativos que têm a doença. Mesma ideia para o termo dos positivos. Somando os dois termos obtemos a proporção total de doentes.

Passo 3

Substituir os números dados na fórmula e calcular cada termo (passo a passo aritmético).
  • Primeiro termo (contribuição dos negativos):
P(D\mid T_-)\,P(T_-)=0,05\times0,90.
Calcular com cuidado:
0,05\times0,90 = 0,045.
Isto significa 4{,}5\% da população total.
  • Segundo termo (contribuição dos positivos):
P(D\mid T_+)\,P(T_+)=0,80\times0,10.
Calcular:
0,80\times0,10 = 0,080.
Isto significa 8{,}0\% da população total.

Passo 4

Somar as contribuições para obter a porcentagem total de pessoas que realmente têm a doença.
P(D)=0,045+0,080=0,125.
Converter para porcentagem:
0,125 = 12{,}5\%.
Interpretação curta e incentivo: então apenas 12{,}5\% dos exames realizados correspondem a pessoas que realmente têm a doença — menos do que parece à primeira vista quando só olhamos para os positivos. Boa! Isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai muito na prova: montar a soma ponderada (lei da probabilidade total) e calcular termo a termo.

Resposta

e) 12,5\%

Exercícios relacionados