Example 17.3. A scooter starts from rest and moves with a constant acceleration of
. Determine its velocity, after it has travelled for 60 meters.
Solution. Given : Initial velocity
(because it starts from rest) Acceleration
and distance travelled
.
Let
We know that
Final velocity of the scooter.
We know that
Passo 1
O enunciado pede para determinar a velocidade final da scooter depois que ela percorre
. As informações dadas são:
A incógnita é
(velocidade final) após percorrer
.
Passo 2
Vamos listar as fórmulas básicas do movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) que usamos comumente e explicar cada variável:
-
= velocidade inicial (em ); -
= velocidade final (em ); -
= aceleração constante (em ); -
= tempo (em ); -
= deslocamento/ distância (em ).
As fórmulas importantes são:
A fórmula que é mais direta quando não temos o tempo
é
Nosso objetivo neste passo é entender de onde vem essa última fórmula (porque é muito útil em provas quando
não aparece). Vamos deduzi-la a partir das duas primeiras.
Passo 3
Derivação de
, (passo a passo, bem didático):
Começamos por escrever as duas equações básicas:
Começamos por escrever as duas equações básicas:
Isolamos
na primeira equação:
Substituímos esse
na equação de
:
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro o termo linear:
O termo quadrático:
Somando os dois termos e reorganizando (colocando sobre o mesmo denominador
):
Fatorando
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Finalmente obtemos
que é exatamente a fórmula que usaremos porque contém
mas não contém
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula
aos valores do problema. Substituindo
,
e
:
Calculemos as multiplicações com calma:
Logo
Passo 5
Tirando a raiz quadrada (escolhemos a raiz positiva porque a scooter parte do repouso e acelera no sentido positivo, então a velocidade aumenta positivamente):
Explicando a escolha do sinal: a equação
tem duas raízes (
e
), mas no contexto de velocidade escalar e sabendo que a aceleração é positiva a velocidade final tem sinal positivo. Se estivéssemos trabalhando com vetores, precisaríamos prestar atenção à direção; aqui buscamos o módulo/valor numérico da velocidade.
Passo 6
Conversão para
(muito comum em respostas): a relação é
Portanto
Passo 7
Como reforço didático, veja um método alternativo (fazendo primeiro o tempo) — isso confirma o resultado e é útil para entender a física passo a passo:
Usando com
:
Usando
Calculamos:
Então
, que é o mesmo valor que obtivemos antes — ótimo sinal de consistência.