Example 17.3. A scooter starts from rest and moves with a constant acceleration of 1.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Determine its velocity, after it has travelled for 60 meters.
Solution. Given : Initial velocity (u)=0 (because it starts from rest) Acceleration (a)= 1.2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} and distance travelled (5)=60 \mathrm{~m}.
Let
We know that
v= Final velocity of the scooter.
\begin{aligned} & v^{2}=u^{2}+2 a s=(0)^{2}+2 \times 1.2 \times 60=144 \\\ & v=12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}=\frac{12 \times 3600}{1000}=43.2 \mathrm{~km} . \mathrm{p} . \mathrm{h} . \text { Ans } \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a velocidade final da scooter depois que ela percorre 60\\ \mathrm{m}. As informações dadas são:
u=0\\ (\text{velocidade inicial, porque parte do repouso}),\qquad a=1,2\\ \mathrm{m/s^{2}}\\ (\text{aceleração constante}),\qquad s=60\\ \mathrm{m}\\ (\text{distância percorrida}).çãâ
A incógnita é v (velocidade final) após percorrer s=60\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Vamos listar as fórmulas básicas do movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) que usamos comumente e explicar cada variável:
  • u = velocidade inicial (em \mathrm{m/s});
  • v = velocidade final (em \mathrm{m/s});
  • a = aceleração constante (em \mathrm{m/s^{2}});
  • t = tempo (em \mathrm{s});
  • s = deslocamento/ distância (em \mathrm{m}).
As fórmulas importantes são:
v = u + at
s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}
A fórmula que é mais direta quando não temos o tempo t é
v^{2} = u^{2} + 2as.
Nosso objetivo neste passo é entender de onde vem essa última fórmula (porque é muito útil em provas quando t não aparece). Vamos deduzi-la a partir das duas primeiras.

Passo 3

Derivação de \,v^{2}=u^{2}+2as, (passo a passo, bem didático):
Começamos por escrever as duas equações básicas:
v = u + at
s = ut + \tfrac{1}{2}at^{2}
Isolamos t na primeira equação:
t=\frac{v-u}{a}.
Substituímos esse t na equação de s:
s = u\left(\frac{v-u}{a}\right) + \tfrac{1}{2}a\left(\frac{v-u}{a}\right)^{2}.
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro o termo linear:
u\left(\frac{v-u}{a}\right)=\frac{u(v-u)}{a}.
O termo quadrático:
\tfrac{1}{2}a\left(\frac{v-u}{a}\right)^{2}=\tfrac{1}{2}a\cdot\frac{(v-u)^{2}}{a^{2}}=\frac{(v-u)^{2}}{2a}.
Somando os dois termos e reorganizando (colocando sobre o mesmo denominador 2a):
s=\frac{2u(v-u)}{2a}+\frac{(v-u)^{2}}{2a}=\frac{2u(v-u)+(v-u)^{2}}{2a}.
Fatorando (v-u):
s=\frac{(v-u)\big(2u+(v-u)\big)}{2a}=\frac{(v-u)(v+u)}{2a}.
Multiplicando ambos os lados por 2a:
2as=(v-u)(v+u)=v^{2}-u^{2}.
Finalmente obtemos
v^{2}=u^{2}+2as,
que é exatamente a fórmula que usaremos porque contém v,u,a,s mas não contém t.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula \,v^{2}=u^{2}+2as aos valores do problema. Substituindo u=0, a=1,2\\ \mathrm{m/s^{2}} e s=60\\ \mathrm{m}:
v^{2}=(0)^{2}+2\times 1,2\times 60.
Calculemos as multiplicações com calma:
2\times 1,2=2,4,
2,4\times 60=144.
Logo
v^{2}=144.

Passo 5

Tirando a raiz quadrada (escolhemos a raiz positiva porque a scooter parte do repouso e acelera no sentido positivo, então a velocidade aumenta positivamente):
v=\sqrt{144}=12\\ \mathrm{m/s}.
Explicando a escolha do sinal: a equação v^{2}=144 tem duas raízes ( v=12 e v=-12), mas no contexto de velocidade escalar e sabendo que a aceleração é positiva a velocidade final tem sinal positivo. Se estivéssemos trabalhando com vetores, precisaríamos prestar atenção à direção; aqui buscamos o módulo/valor numérico da velocidade.

Passo 6

Conversão para \mathrm{km/h} (muito comum em respostas): a relação é
1\\ \mathrm{m/s} = \frac{3600\\ \mathrm{s}}{1000\\ \mathrm{m}}\\ \mathrm{km/h}=3,6\\ \mathrm{km/h}.
Portanto
v=12\\ \mathrm{m/s}=12\times 3,6=43,2\\ \mathrm{km/h}.

Passo 7

Como reforço didático, veja um método alternativo (fazendo primeiro o tempo) — isso confirma o resultado e é útil para entender a física passo a passo:
Usando s=ut+\tfrac{1}{2}at^{2} com u=0:
60=\tfrac{1}{2}\times 1,2\times t^{2}.
Calculamos:
\tfrac{1}{2}\times 1,2=0,6,
0,6\,t^{2}=60\quad\Rightarrow\quad t^{2}=\frac{60}{0,6}=100\quad\Rightarrow\quad t=10\\ \mathrm{s}.
Então v=u+at=0+1,2\times 10=12\\ \mathrm{m/s}, que é o mesmo valor que obtivemos antes — ótimo sinal de consistência.

Resposta

v=12\\ \mathrm{m/s}
v=43,2\\ \mathrm{km/h}

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