A ball of mass 1 kg moving with a velocity of 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} impinges directly on a ball of mass 2 kg at rest. The first ball, after impinging, comes to rest. Find the velocity of the second ball after the impact and the coefficient of restitution.
Solution. Given: Mass of first ball ( m ) = 1 kg; Initial velocity of first ball ( u 1) = 2 m/s ;
Mass of second ball ( m ) = 2 kg; Initial velocity of second ball ( }\mp@subsup{u}{2}{}\mathrm{ ) = O (because it is at rest) and final
velocity of first ball after impact ( }\mp@subsup{v}{1}{})=0\mathrm{ (because, it comes to rest)
Velocity of the second ball after impact.
    Let v}2=\mathrm{ Velocity of the second ball after impact.
    We know from the law of conservation of momentum that
            m1u}\mp@subsup{u}{1}{}+\mp@subsup{m}{2}{}\mp@subsup{u}{2}{}=\mp@subsup{m}{1}{}\mp@subsup{v}{1}{}+\mp@subsup{m}{2}{}\mp@subsup{v}{2}{
        (1 x2) +(2 x0)=(1 x0)+(2 xv2)
        \therefore 2 = 2v 
    or
Coefficient of restitution
        Let e= Coefficient of restitution.
        We also know from the law of collision of elastic bodies that
                (v}\mp@subsup{}{2}{}-\mp@subsup{v}{1}{})=e(\mp@subsup{u}{1}{}-\mp@subsup{u}{2}{}
                (1-0) =e (2-0)
        or
                e=}\frac{1}{2}=0.5\mathrm{ Ans.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (especificados claramente):
  • Massa da primeira bola: m_1 = 1\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial da primeira bola: u_1 = 2\\ \mathrm{m/s}.
  • Massa da segunda bola: m_2 = 2\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial da segunda bola: u_2 = 0\\ \mathrm{m/s} (estava em repouso).
  • Velocidade final da primeira bola: v_1 = 0\\ \mathrm{m/s} (após o impacto ela fica em repouso).
    O que o problema pede:
  1. Encontrar a velocidade final da segunda bola v_2.
  2. Encontrar o coeficiente de restituição e.

Passo 2

Princípio usado 1 — Conservação da quantidade de movimento (momentum):
  • Em colisões isoladas (sem forças externas impulsivas horizontais relevantes), a quantidade de movimento total antes e depois da colisão se conserva.
  • Fórmula geral em 1D:
m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2.
Aqui cada letra significa: m_i = massa da i-ésima bola, u_i = velocidade inicial, v_i = velocidade final. Vamos usar essa equação para achar v_2.

Passo 3

Aplicando a conservação do momentum com os valores dados:
(1)\times(2) + (2)\times(0) = (1)\times(0) + (2)\times v_2.
Agora calculo passo a passo: o lado esquerdo é 2 + 0 = 2. O lado direito é 0 + 2v_2 = 2v_2. Então obtemos
2 = 2v_2.
Isolando v_2:
v_2 = \frac{2}{2} = 1\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: a bola maior sai para a direita com 1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Princípio usado 2 — Coeficiente de restituição e: definição e ideia física:
  • O coeficiente de restituição mede “quão elástica” é a colisão; varia entre 0 (colisão perfeitamente inelástica, as superfícies não se separam) e 1 (colisão perfeitamente elástica, sem perda de energia mecânica).
  • Definição em 1D para duas partículas:
e=\frac{\text{velocidade relativa de separação}}{\text{velocidade relativa de aproximação}}=\frac{v_2-v_1}{u_1-u_2},çãçã
desde que tomemos a direção positiva no sentido do movimento inicial da primeira bola. Aqui denominadores e numeradores estão com sinais que representam velocidades escalar ao longo da linha de colisão.

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos na fórmula do coeficiente de restituição:
  • Temos v_2 = 1\\ \mathrm{m/s} (do Passo 3) e v_1 = 0\\ \mathrm{m/s}. As velocidades iniciais são u_1 = 2\\ \mathrm{m/s} e u_2 = 0\\ \mathrm{m/s}. Então
e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2} = \frac{1 - 0}{2 - 0} = \frac{1}{2}.
Convertendo para número decimal (usando vírgula conforme notação local):
e = 0,5.

Passo 6

Verificação física opcional (útil para a prova): comparar energias cinéticas antes e depois para ver que tipo de colisão é.
  • Energia cinética inicial total:
K_{\text{in}} = \tfrac{1}{2} m_1 u_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 u_2^2 = \tfrac{1}{2}\times 1 \times 2^2 + \tfrac{1}{2}\times 2 \times 0^2 = \tfrac{1}{2}\times 4 = 2\\ \mathrm{J}.
  • Energia cinética final total:
K_{\text{fin}} = \tfrac{1}{2} m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_2^2 = \tfrac{1}{2}\times 1 \times 0^2 + \tfrac{1}{2}\times 2 \times 1^2 = 1\\ \mathrm{J}.
Houve perda de energia cinética de 1\\ \mathrm{J}, portanto a colisão é inelástica (o que é consistente com e=0,5<1). Isso também serve como checagem da resposta.

Passo 7

Dicas rápidas para a prova (pra você ficar confiante):
  • Sempre comece escrevendo as incógnitas e as equações: conservação de momentum e fórmula de e.
  • Substitua números só depois de ter a equação montada; evita erros de sinal.
  • Se v_1 ou v_2 forem zero, as equações ficam muito simples — aproveite isso para calcular rapidamente.
  • Se precisar checar, calcule energias cinéticas antes/depois; perda de energia confirma e<1.

Resposta

\;v_2 = 1\\ \mathrm{m/s}
\;e = 0,5

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