A ball of mass 1 kg moving with a velocity of
impinges directly on a ball of mass 2 kg at rest. The first ball, after impinging, comes to rest. Find the velocity of the second ball after the impact and the coefficient of restitution.
Solution. Given: Mass of first ball ( m ) = 1 kg; Initial velocity of first ball ( u 1) = 2 m/s ;
Mass of second ball ( m ) = 2 kg; Initial velocity of second ball ( }\mp@subsup{u}{2}{}\mathrm{ ) = O (because it is at rest) and final
velocity of first ball after impact ( }\mp@subsup{v}{1}{})=0\mathrm{ (because, it comes to rest)
Velocity of the second ball after impact.
Let v}2=\mathrm{ Velocity of the second ball after impact.
We know from the law of conservation of momentum that
m1u}\mp@subsup{u}{1}{}+\mp@subsup{m}{2}{}\mp@subsup{u}{2}{}=\mp@subsup{m}{1}{}\mp@subsup{v}{1}{}+\mp@subsup{m}{2}{}\mp@subsup{v}{2}{
(1 x2) +(2 x0)=(1 x0)+(2 xv2)
\therefore 2 = 2v
or
Coefficient of restitution
Let e= Coefficient of restitution.
We also know from the law of collision of elastic bodies that
(v}\mp@subsup{}{2}{}-\mp@subsup{v}{1}{})=e(\mp@subsup{u}{1}{}-\mp@subsup{u}{2}{}
(1-0) =e (2-0)
or
e=}\frac{1}{2}=0.5\mathrm{ Ans.
Solution. Given: Mass of first ball ( m ) = 1 kg; Initial velocity of first ball ( u 1) = 2 m/s ;
Mass of second ball ( m ) = 2 kg; Initial velocity of second ball ( }\mp@subsup{u}{2}{}\mathrm{ ) = O (because it is at rest) and final
velocity of first ball after impact ( }\mp@subsup{v}{1}{})=0\mathrm{ (because, it comes to rest)
Velocity of the second ball after impact.
Let v}2=\mathrm{ Velocity of the second ball after impact.
We know from the law of conservation of momentum that
m1u}\mp@subsup{u}{1}{}+\mp@subsup{m}{2}{}\mp@subsup{u}{2}{}=\mp@subsup{m}{1}{}\mp@subsup{v}{1}{}+\mp@subsup{m}{2}{}\mp@subsup{v}{2}{
(1 x2) +(2 x0)=(1 x0)+(2 xv2)
\therefore 2 = 2v
or
Coefficient of restitution
Let e= Coefficient of restitution.
We also know from the law of collision of elastic bodies that
(v}\mp@subsup{}{2}{}-\mp@subsup{v}{1}{})=e(\mp@subsup{u}{1}{}-\mp@subsup{u}{2}{}
(1-0) =e (2-0)
or
e=}\frac{1}{2}=0.5\mathrm{ Ans.Passo 1
Enunciado e dados importantes (especificados claramente):
- Massa da primeira bola:
. - Velocidade inicial da primeira bola:
. - Massa da segunda bola:
. - Velocidade inicial da segunda bola:
(estava em repouso). - Velocidade final da primeira bola:
(após o impacto ela fica em repouso).
O que o problema pede:
- Encontrar a velocidade final da segunda bola
. - Encontrar o coeficiente de restituição
.
Passo 2
Princípio usado 1 — Conservação da quantidade de movimento (momentum):
- Em colisões isoladas (sem forças externas impulsivas horizontais relevantes), a quantidade de movimento total antes e depois da colisão se conserva.
- Fórmula geral em 1D:
Aqui cada letra significa:
= massa da i-ésima bola,
= velocidade inicial,
= velocidade final. Vamos usar essa equação para achar
.
Passo 3
Aplicando a conservação do momentum com os valores dados:
Agora calculo passo a passo: o lado esquerdo é
. O lado direito é
. Então obtemos
Isolando
:
Interpretação rápida: a bola maior sai para a direita com
.
Passo 4
Princípio usado 2 — Coeficiente de restituição
: definição e ideia física:
- O coeficiente de restituição mede “quão elástica” é a colisão; varia entre
(colisão perfeitamente inelástica, as superfícies não se separam) e (colisão perfeitamente elástica, sem perda de energia mecânica). - Definição em 1D para duas partículas:
desde que tomemos a direção positiva no sentido do movimento inicial da primeira bola. Aqui denominadores e numeradores estão com sinais que representam velocidades escalar ao longo da linha de colisão.
Passo 5
Substituindo os valores conhecidos na fórmula do coeficiente de restituição:
- Temos
(do Passo 3) e . As velocidades iniciais são e . Então
Convertendo para número decimal (usando vírgula conforme notação local):
Passo 6
Verificação física opcional (útil para a prova): comparar energias cinéticas antes e depois para ver que tipo de colisão é.
- Energia cinética inicial total:
- Energia cinética final total:
Houve perda de energia cinética de
, portanto a colisão é inelástica (o que é consistente com
). Isso também serve como checagem da resposta.
Passo 7
Dicas rápidas para a prova (pra você ficar confiante):
- Sempre comece escrevendo as incógnitas e as equações: conservação de momentum e fórmula de
. - Substitua números só depois de ter a equação montada; evita erros de sinal.
- Se
ou forem zero, as equações ficam muito simples — aproveite isso para calcular rapidamente. - Se precisar checar, calcule energias cinéticas antes/depois; perda de energia confirma
.