Exemplifique, esboçando e descrevendo, duas situações práticas em que se é conveniente a simplificação do estado mais geral de tensões em três dimensões para um EPT - Estado Plano de Tensões. (2 pontos)

Passo 1

O enunciado pede explicitamente duas coisas:
  • Fornecer duas situações práticas em que é conveniente substituir o estado geral de tensões 3D por um EPT (Estado Plano de Tensões).
  • Em cada situação: esboçar (descrever o esboço) e descrever por que a simplificação é válida.
Informações úteis que já vêm do enunciado (o que preciso entregar): dois exemplos práticos, com desenho verbal e justificativa física clara de por que os componentes de tensão fora do plano podem ser desprezados.

Passo 2

O que é, em termos simples, o “estado mais geral de tensões em 3D”? Vou escrever a matriz tensional genérica e explicar cada componente:
\boldsymbol{\sigma}= \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\[4pt] \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz}\\[4pt] \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix}.
  • \sigma_{xx},\sigma_{yy},\sigma_{zz} são as tensões normais em direções x,y,z (esticamento/compressão).
  • \tau_{xy},\tau_{xz},\tau_{yz} são as tensões cortantes (shear) em planos mistos.
    Em prova, quando virem essa matriz, lembrem: cada entrada tem significado físico (força por área numa direção) e pode ser zero por simetria ou por condição de superfície livre.]

Passo 3

O que é EPT (Estado Plano de Tensões) e quando o usamos?
Definição prática: escolhe-se a direção z como a espessura (fora do plano) e assume-se
\sigma_{zz}=0,\qquad \tau_{xz}=0,\qquad \tau_{yz}=0.
A matriz reduzida fica
\boldsymbol{\sigma}_{\text{EPT}}= \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & 0\\[4pt] \tau_{xy} & \sigma_{yy} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Justificativa física (como mostrar isso numa prova): se as superfícies superior e inferior (faces em z=\pm t/2) são livres de tração, a componente de tensão que age normal a essas superfícies tende a zero. Se a espessura t é pequena comparada às dimensões no plano e as cargas atuam essencialmente no plano, as tensões atravessadas pela espessura são muito menores que as tensões no plano — daí a aproximação. Antes de usar EPT, cheque: (i) carga aplicada no plano ou pressões pequenas na espessura; (ii) t muito menor que as demais dimensões; (iii) ausência de contato ou apoio que restrinja o deslocamento através da espessura.]

Passo 4

Exemplo 1 — Placa metálica fina submetida à tração em seu plano (ensaio de tração / peça de chapa puxada).
Esboço verbal para desenhar rápido na prova: desenhe um retângulo de comprimento L, largura w e espessura t (indicar t muito pequeno), forças P aplicadas nas faces laterais esquerda e direita, apontando para fora (tração uniaxial). Coloque um sistema de coordenadas: x ao longo do comprimento, y ao longo da largura, z pela espessura.
Descrição e justificativa física:
  • As faces z=+\tfrac{t}{2} e z=-\tfrac{t}{2} são livres (não há contato nem pressão aplicada nessas faces), logo as componentes de tração sobre essas superfícies são nulas. Isso implica \sigma_{zz}\approx0, \tau_{xz}\approx0, \tau_{yz}\approx0.
  • As tensões importantes são \sigma_{xx} (tensão de tração ao longo do corpo) e possivelmente \sigma_{yy} devido a Poisson (ou se houver tensões biaxiais), e \tau_{xy} se houver cisalhamento no plano.
  • Condição prática: se t \ll L,w e não há carregamento out-of-plane ou contato, EPT é apropriado.
    Observação útil para prova: mencionar que perto de entalhes, furos ou braçadeiras (encaixes) a hipótese pode falhar — aí o problema fica localmente 3D.

Passo 5

Exemplo 2 — Casco cilíndrico fino (vaso de pressão cilíndrico de parede fina) sob pressão interna.
Esboço verbal para desenhar rápido: desenhe um cilindro aberto com raio médio R e espessura t (mostrar t pequeno), indicar pressão interna p. Marcar coordenadas locais: radial r, circunferencial \theta (hoop) e axial z.
Descrição e justificativa física:
  • Em um casca fina, as tensões dominantes são as tensões que se desenvolvem no plano da parede: tensão circunferencial \sigma_{\theta} (hoop) e tensão axial \sigma_{z}. A tensão radial \sigma_{r} varia entre -p na face interna e 0 na externa, logo tem magnitude da ordem de p.
  • Magnitude comparativa: para parede fina a solução clássica dá
\sigma_{\theta} \approx \dfrac{pR}{t},\qquad \sigma_{z}\approx \dfrac{pR}{2t}.
Assim \dfrac{\sigma_{\theta}}{\sigma_{r}}\sim\dfrac{R}{t}. Se \dfrac{R}{t}\gg1 (por exemplo \dfrac{R}{t}>10), então \sigma_{\theta} e \sigma_{z} são muito maiores que \sigma_{r} e a variação radial é pequena em termos relativos — a parede “vê” praticamente apenas tensões no plano da parede. Portanto podemos aproximar \sigma_{r}\approx0 (ou desprezível) e desprezar os cisalhamentos pela espessura, adotando EPT local no “pedaço” da parede.
  • Em palavras: parede fina + pressão interna → tensões maiores no plano da casca; o estado efetivo é plano de tensões na espessura local.

Passo 6

Como você justifica rápido numa prova (receita prática):
  1. Identifique a direção da espessura ( z).
  2. Verifique se as superfícies z=\pm t/2 são livres (sem tração) ou se a carga sobre elas é muito pequena. Se forem livres, isso tende a anular \sigma_{zz},\tau_{xz},\tau_{yz}.
  3. Compare ordens de grandeza: calcule ou estime razões tipo \dfrac{\sigma_{in\\ plane}}{\sigma_{through}}. Se a razão for grande (por exemplo >10), EPT é aceitável. No vaso de pressão use \dfrac{\sigma_{\theta}}{p}\sim\dfrac{R}{t}.
  4. Desenhe o retângulo/casquinha e escreva as componentes não nulas: isso já convence o examinador.

Passo 7

Limitações rápidas (o que dizer se a hipótese falha): não usar EPT se houver:
  • placas espessas ( t não pequeno),
  • carregamento significativo perpendicular ao plano (impacto, alta pressão nas faces),
  • restrição ao deslocamento através da espessura (apoios rígidos por cima/baixo),
  • regiões locais com furos/entranhas/rosca/soldagem onde o campo é 3D.
    Sempre declare essas limitações ao aplicar a aproximação em prova.

Resposta

  1. Placa metálica fina (espessura t muito pequena) submetida à tração in-plane — esboço: retângulo com forças de tração nas faces laterais; motivo: faces superior/inferior livres ⇒ \sigma_{zz}=\tau_{xz}=\tau_{yz}\approx0, resto das tensões no plano.
  2. Casco cilíndrico de parede fina (vaso de pressão) sob pressão interna — esboço: seção de cilindro com raio R, espessura t pequena; motivo: tensões hoop \sigma_{\theta} e axial \sigma_{z} dominam, tensão radial \sigma_{r} é da ordem de p e torna-se desprezível quando \tfrac{R}{t}\gg1, permitindo EPT.

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