Exemplo 11: O Bill’s Grill é um restaurante universitário popular, famoso por seus hambúrgueres. O proprietário, Bill, mistura carne bovina moída fresca e carne suína com um ingrediente secreto para preparar hambúrgueres de um quarto de libra, anunciados como contendo no máximo 25% de gordura.
- Bill pode comprar carne bovina com
de carne e
de gordura por US$ 0,85 por libra.
- Ele pode comprar carne suína com
de carne e
de gordura por US$ 0,65 por libra.
Bill deseja determinar a forma de menor custo para misturar carne bovina e carne suína de modo a produzir hambúrgueres que tenham no máximo
de gordura.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a mistura de carne bovina e carne suína que minimize o custo, sujeita à restrição de que o hambúrguer de
de libra tenha no máximo
de gordura. Informações dadas:
- Carne bovina:
carne magra e gordura, preço US$ por libra. - Carne suína:
carne magra e gordura, preço US$ por libra. - Um hambúrguer tem massa total
de libra.
Pergunta implícita: em cada hambúrguer, quanto de cada carne usar (em libras e/ou percentagem) para minimizar custo mantendo gordura?
Passo 2
Definimos variáveis claras (sempre bom escrever o que cada variável significa):
- Seja
a quantidade, em libras, de carne bovina por hambúrguer. - Seja
a quantidade, em libras, de carne suína por hambúrguer.
Como o hambúrguer temde libra no total, temos a restrição de massa:
Também impomos não-negatividade:
e
.
Passo 3
Vamos traduzir a restrição de gordura para matemática. Percentuais de gordura:
- carne bovina:
de gordura gordura por libra é libra de gordura por libra de mistura daquela carne; - carne suína:
de gordura libra de gordura por libra daquela carne.
A quantidade total de gordura por hambúrguer é
A condição “no máximo
de gordura” para um hambúrguer de
de libra é:
Note que
é a fração de libra correspondente a
de
lb.
Passo 4
Calculemos o lado direito numérico da desigualdade de gordura:
Portanto a restrição fica
Passo 5
Escrevemos a função custo por hambúrguer (somar custo de cada carne usada):
- custo da carne bovina por libra: US$
, logo custo por hambúrguer da carne bovina é ; - custo da carne suína por libra: US$
, logo custo por hambúrguer da carne suína é .
Função objetivo (que queremos minimizar):
Passo 6
Usamos a restrição de massa
para eliminar uma variável. Isolando
:
Substituímos na desigualdade de gordura e na função custo para trabalhar só com
.
Passo 7
Substituindo na desigualdade de gordura:
Desenvolvendo passo a passo:
Isolando
:
Portanto a quantidade de carne suína por hambúrguer deve satisfazer
(libras). Como
, isso determina
também.
Passo 8
Substituindo
na função custo:
Desenvolvendo:
Observe que o coeficiente de
é negativo (
), então a função custo diminui quando
aumenta. Isso significa: para reduzir custo, queremos a maior
possível dentro da região viável. Pela restrição encontrada, o maior valor viável é
lb.
Passo 9
Tomando
lb (máximo permitido de suína), obtemos
Verificações finais:
- porcentagem por peso:
e são iguais, logo mistura carne bovina e carne suína por peso; - gordura total:
lb de gordura por hambúrguer, que é exatamente de lb (ligação ativa na fronteira); - custo por hambúrguer:
dólares por hambúrguer; - custo por libra da mistura: o mesmo cálculo em escala dá
US$por libra (visto que por lb corresponde a US$ por libra).
Resposta
Usar
lb de carne bovina e
lb de carne suína por hambúrguer (mistura
/
por peso); gordura da mistura
(limite).
Custo por hambúrguer: US$ .
Custo por libra da mistura: US$ .
Custo por hambúrguer: US$
Custo por libra da mistura: US$