Exemplo 11: O Bill’s Grill é um restaurante universitário popular, famoso por seus hambúrgueres. O proprietário, Bill, mistura carne bovina moída fresca e carne suína com um ingrediente secreto para preparar hambúrgueres de um quarto de libra, anunciados como contendo no máximo 25% de gordura.
  • Bill pode comprar carne bovina com 80 \% de carne e 20 \% de gordura por US$ 0,85 por libra.
  • Ele pode comprar carne suína com 70 \% de carne e 30 \% de gordura por US$ 0,65 por libra.
Bill deseja determinar a forma de menor custo para misturar carne bovina e carne suína de modo a produzir hambúrgueres que tenham no máximo 25 \% de gordura.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a mistura de carne bovina e carne suína que minimize o custo, sujeita à restrição de que o hambúrguer de \tfrac{1}{4} de libra tenha no máximo 25\% de gordura. Informações dadas:
  • Carne bovina: 80\% carne magra e 20\% gordura, preço US$ 0,85 por libra.
  • Carne suína: 70\% carne magra e 30\% gordura, preço US$ 0,65 por libra.
  • Um hambúrguer tem massa total \tfrac{1}{4} de libra.
    Pergunta implícita: em cada hambúrguer, quanto de cada carne usar (em libras e/ou percentagem) para minimizar custo mantendo gordura \le 25\%?

Passo 2

Definimos variáveis claras (sempre bom escrever o que cada variável significa):
  • Seja x a quantidade, em libras, de carne bovina por hambúrguer.
  • Seja y a quantidade, em libras, de carne suína por hambúrguer.
    Como o hambúrguer tem \tfrac{1}{4} de libra no total, temos a restrição de massa:
x + y = \tfrac{1}{4}.
Também impomos não-negatividade: x\ge 0 e y\ge 0.

Passo 3

Vamos traduzir a restrição de gordura para matemática. Percentuais de gordura:
  • carne bovina: 20\% de gordura \Rightarrow gordura por libra é 0,20 libra de gordura por libra de mistura daquela carne;
  • carne suína: 30\% de gordura \Rightarrow 0,30 libra de gordura por libra daquela carne.
    A quantidade total de gordura por hambúrguer é
0,20x + 0,30y.
A condição “no máximo 25\% de gordura” para um hambúrguer de \tfrac{1}{4} de libra é:
0,20x + 0,30y \le 0,25\cdot \tfrac{1}{4}.
Note que 0,25\cdot\tfrac{1}{4} é a fração de libra correspondente a 25\% de \tfrac{1}{4} lb.

Passo 4

Calculemos o lado direito numérico da desigualdade de gordura:
0,25\cdot \tfrac{1}{4} = 0,25\cdot 0,25 = 0,0625\\ \text{(libras de gordura por hambúrguer)}.ú
Portanto a restrição fica
0,20x + 0,30y \le 0,0625.

Passo 5

Escrevemos a função custo por hambúrguer (somar custo de cada carne usada):
  • custo da carne bovina por libra: US$ 0,85, logo custo por hambúrguer da carne bovina é 0,85x;
  • custo da carne suína por libra: US$ 0,65, logo custo por hambúrguer da carne suína é 0,65y.
    Função objetivo (que queremos minimizar):
\text{custo}(x,y)=0,85x + 0,65y.

Passo 6

Usamos a restrição de massa x+y=\tfrac{1}{4} para eliminar uma variável. Isolando x:
x = \tfrac{1}{4} - y.
Substituímos na desigualdade de gordura e na função custo para trabalhar só com y.

Passo 7

Substituindo na desigualdade de gordura:
0,20\Big(\tfrac{1}{4}-y\Big) + 0,30y \le 0,0625.
Desenvolvendo passo a passo:
0,20\cdot \tfrac{1}{4} - 0,20y + 0,30y \le 0,0625,
0,05 + 0,10y \le 0,0625.
Isolando y:
0,10y \le 0,0625 - 0,05 = 0,0125,
y \le \frac{0,0125}{0,10} = 0,125.
Portanto a quantidade de carne suína por hambúrguer deve satisfazer 0 \le y \le 0,125 (libras). Como x=\tfrac{1}{4}-y, isso determina x também.

Passo 8

Substituindo x=\tfrac{1}{4}-y na função custo:
\text{custo}(y)=0,85\Big(\tfrac{1}{4}-y\Big)+0,65y.
Desenvolvendo:
\text{custo}(y)=0,85\cdot\tfrac{1}{4} - 0,85y + 0,65y = 0,2125 - 0,20y.
Observe que o coeficiente de y é negativo ( -0,20), então a função custo diminui quando y aumenta. Isso significa: para reduzir custo, queremos a maior y possível dentro da região viável. Pela restrição encontrada, o maior valor viável é y=0,125 lb.

Passo 9

Tomando y=0,125 lb (máximo permitido de suína), obtemos
x=\tfrac{1}{4}-0,125 = 0,125\\ \text{lb}.
Verificações finais:
  • porcentagem por peso: x e y são iguais, logo mistura 50\% carne bovina e 50\% carne suína por peso;
  • gordura total: 0,20\cdot 0,125 + 0,30\cdot 0,125 = 0,025 + 0,0375 = 0,0625 lb de gordura por hambúrguer, que é exatamente 25\% de 0,25 lb (ligação ativa na fronteira);
  • custo por hambúrguer: \text{custo}=0,85\cdot 0,125 + 0,65\cdot 0,125 = 0,2125 - 0,20\cdot 0,125 = 0,1875 dólares por hambúrguer;
  • custo por libra da mistura: o mesmo cálculo em escala dá 0,75 US$por libra (visto que 0,1875 por \tfrac{1}{4} lb corresponde a 0,1875\times 4 = 0,75 US$ por libra).

Resposta

Usar 0,125 lb de carne bovina e 0,125 lb de carne suína por hambúrguer (mistura 50\%/ 50\% por peso); gordura da mistura =25\% (limite).
Custo por hambúrguer: US$ 0,1875.
Custo por libra da mistura: US$ 0,75.

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