Exemplo 8: Blue Ridge Hot Tubs fabrica e vende dois modelos de banheiras de hidromassagem: a Aqua-Spa e a Hydro-Lux. Howie Jones, proprietário e gerente da empresa, precisa decidir quantas unidades de cada tipo produzir em seu próximo ciclo de produção. Howie compra cascos pré-fabricados de fibra de vidro de um fornecedor local e adiciona bomba e tubulação para montar as banheiras. (Esse fornecedor tem capacidade para entregar quantos cascos forem necessários.)
Howie instala o mesmo tipo de bomba em ambos os modelos. Ele terá apenas 200 bombas disponíveis no próximo ciclo de produção. Do ponto de vista da fabricação, a principal diferença entre os dois modelos é a quantidade de tubulação e de horas de trabalho necessárias.
- Cada Aqua-Spa exige 9 horas de trabalho e 12 pés de tubulação.
- Cada Hydro-Lux exige 6 horas de trabalho e 16 pés de tubulação.
Howie espera ter 1.566 horas de trabalho e 2.880 pés de tubulação disponíveis no próximo ciclo. Ele obtém um lucro de US
300 por cada Hydro-Lux vendida. Ele está confiante de que conseguirá vender todas as unidades produzidas.
Questão: Quantas Aqua-Spas e Hydro-Luxes Howie deve produzir para maximizar seus lucros no próximo ciclo de produção?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- O objetivo do dono é decidir quantas unidades produzir de dois modelos: Aqua-Spa e Hydro-Lux.
- Recursos disponíveis para o próximo ciclo:
- Bombas:
unidades (cada banheira usa 1 bomba). - Horas de trabalho:
horas. - Tubulação:
pés.
- Bombas:
- Recursos exigidos por unidade:
- Cada Aqua-Spa exige
horas de trabalho e pés de tubulação. - Cada Hydro-Lux exige
horas de trabalho e pés de tubulação.
- Cada Aqua-Spa exige
- Lucro por unidade:
- Aqua-Spa:
. - Hydro-Lux:
.
- Aqua-Spa:
- Suposições: todos os produtos feitos serão vendidos (sem restrição de mercado) e cascos ilimitados.
O enunciado pede: determinar quantas Aqua-Spas e quantas Hydro-Luxes produzir para maximizar o lucro no próximo ciclo.
Passo 2
Defino as variáveis de decisão (isso é essencial para montar equações):
- Seja
o número de Aqua-Spas a produzir. - Seja
o número de Hydro-Luxes a produzir.
Estas variáveis devem ser números inteiros não negativos, mas na formulação contínua de programação linear impõe-se
e
. Na prática de produção os valores inteiros fazem sentido; as soluções que vamos obter serão inteiras.
Passo 3
Construo a função objetivo (o lucro total) e as restrições a partir dos dados.
- Função objetivo (maximizar lucro):
onde
é o lucro total em dólares.
- Restrições:
- Restrição de bombas: cada unidade precisa de uma bomba e há
bombas disponíveis.
- Restrição de horas de trabalho: cada Aqua-Spa consome
horas e cada Hydro-Lux horas; há horas disponíveis.
- Restrição de tubulação: cada Aqua-Spa consome
pés e cada Hydro-Lux pés; há pés disponíveis.
- Não negatividade:
Agora temos o problema de programação linear bem formulado: maximizar
sujeito às 3 desigualdades lineares e
.
Passo 4
Explico a ideia usada para resolver (método dos pontos extremos / vértices).
- Para um problema de programação linear com objetivo linear e restrições lineares, todo extremo (vértice) da região factível é candidato a conter a solução ótima. Portanto, basta calcular os vértices da região factível (interseções de pares de restrições ativas) e avaliar
nesses vértices; o maior valor de entre eles é o lucro máximo. Isso evita uma busca exaustiva.
Vou determinar todos os vértices relevantes: interseções entre as retas correspondentes às restrições (incluindo interceptos com os eixos).
Passo 5
Encontro os vértices factíveis resolvendo sistemas formados por pares de restrições (mostrando as contas).
Primeiro interceptos com os eixos (colocando uma variável igual a zero):
-
Se
-
Se
, pelas restrições: -
. -
. -
.
O mais restritivo é. Logo o ponto extremo sobre o eixo é
-
Agora interseções entre pares de retas ativas (resolver sistemas de duas equações):
- Interseção das restrições bombas e horas de trabalho:
Substituo
. Ponto:
- Interseção das restrições bombas e tubulação:
Substituo
. Ponto:
- Interseção das restrições horas de trabalho e tubulação:
Resolver por substituição ou eliminação. Faço eliminação: multiplico a primeira por
usando original primeira: da primeira original
então
. Substituo na combinação obtida ou resolvo o sistema original direto (vou seguir substituição):
Da equação obtemos
. Substituindo em
:
Da equação
Calculando:
Então
. Ponto:
Resumo dos vértices factíveis encontrados:
(Os pontos
raramente são ótimos quando há lucro positivo, mas incluo para completude.)]
Passo 6
Avalio a função objetivo
em cada vértice (mostrando as contas).
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Comparando os valores de
, o maior é
obtido no ponto
.
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida:
- O ponto
respeita todas as restrições (cada bomba, horas e tubulação não são ultrapassadas). - Não existe outro vértice com lucro maior entre os avaliados; pela teoria da programação linear, a solução ótima está em um vértice, então
é ótima. - Logo:
- Produzir
Aqua-Spas e Hydro-Luxes maximiza o lucro. - Lucro máximo:
.
- Produzir
Resposta
Aqua-Spas:
Hydro-Luxes:
Hydro-Luxes: