Exemplo 8: Blue Ridge Hot Tubs fabrica e vende dois modelos de banheiras de hidromassagem: a Aqua-Spa e a Hydro-Lux. Howie Jones, proprietário e gerente da empresa, precisa decidir quantas unidades de cada tipo produzir em seu próximo ciclo de produção. Howie compra cascos pré-fabricados de fibra de vidro de um fornecedor local e adiciona bomba e tubulação para montar as banheiras. (Esse fornecedor tem capacidade para entregar quantos cascos forem necessários.)
Howie instala o mesmo tipo de bomba em ambos os modelos. Ele terá apenas 200 bombas disponíveis no próximo ciclo de produção. Do ponto de vista da fabricação, a principal diferença entre os dois modelos é a quantidade de tubulação e de horas de trabalho necessárias.
  • Cada Aqua-Spa exige 9 horas de trabalho e 12 pés de tubulação.
  • Cada Hydro-Lux exige 6 horas de trabalho e 16 pés de tubulação.
Howie espera ter 1.566 horas de trabalho e 2.880 pés de tubulação disponíveis no próximo ciclo. Ele obtém um lucro de US 350 por cada Aqua-Spa vendida e US 300 por cada Hydro-Lux vendida. Ele está confiante de que conseguirá vender todas as unidades produzidas.
Questão: Quantas Aqua-Spas e Hydro-Luxes Howie deve produzir para maximizar seus lucros no próximo ciclo de produção?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O objetivo do dono é decidir quantas unidades produzir de dois modelos: Aqua-Spa e Hydro-Lux.
  • Recursos disponíveis para o próximo ciclo:
    • Bombas: 200 unidades (cada banheira usa 1 bomba).
    • Horas de trabalho: 1566 horas.
    • Tubulação: 2880 pés.
  • Recursos exigidos por unidade:
    • Cada Aqua-Spa exige 9 horas de trabalho e 12 pés de tubulação.
    • Cada Hydro-Lux exige 6 horas de trabalho e 16 pés de tubulação.
  • Lucro por unidade:
    • Aqua-Spa: \$350.
    • Hydro-Lux: \$300.
  • Suposições: todos os produtos feitos serão vendidos (sem restrição de mercado) e cascos ilimitados.
O enunciado pede: determinar quantas Aqua-Spas e quantas Hydro-Luxes produzir para maximizar o lucro no próximo ciclo.

Passo 2

Defino as variáveis de decisão (isso é essencial para montar equações):
  • Seja x o número de Aqua-Spas a produzir.
  • Seja y o número de Hydro-Luxes a produzir.
Estas variáveis devem ser números inteiros não negativos, mas na formulação contínua de programação linear impõe-se x\ge0 e y\ge0. Na prática de produção os valores inteiros fazem sentido; as soluções que vamos obter serão inteiras.

Passo 3

Construo a função objetivo (o lucro total) e as restrições a partir dos dados.
  • Função objetivo (maximizar lucro):
Z = 350x + 300y
onde Z é o lucro total em dólares.
  • Restrições:
  1. Restrição de bombas: cada unidade precisa de uma bomba e há 200 bombas disponíveis.
x + y \le 200
  1. Restrição de horas de trabalho: cada Aqua-Spa consome 9 horas e cada Hydro-Lux 6 horas; há 1566 horas disponíveis.
9x + 6y \le 1566
  1. Restrição de tubulação: cada Aqua-Spa consome 12 pés e cada Hydro-Lux 16 pés; há 2880 pés disponíveis.
12x + 16y \le 2880
  1. Não negatividade:
x \ge 0,\qquad y \ge 0
Agora temos o problema de programação linear bem formulado: maximizar Z sujeito às 3 desigualdades lineares e x,y\ge0.

Passo 4

Explico a ideia usada para resolver (método dos pontos extremos / vértices).
  • Para um problema de programação linear com objetivo linear e restrições lineares, todo extremo (vértice) da região factível é candidato a conter a solução ótima. Portanto, basta calcular os vértices da região factível (interseções de pares de restrições ativas) e avaliar Z nesses vértices; o maior valor de Z entre eles é o lucro máximo. Isso evita uma busca exaustiva.
Vou determinar todos os vértices relevantes: interseções entre as retas correspondentes às restrições (incluindo interceptos com os eixos).

Passo 5

Encontro os vértices factíveis resolvendo sistemas formados por pares de restrições (mostrando as contas).
Primeiro interceptos com os eixos (colocando uma variável igual a zero):
  • Se y=0\), pelas restrições: - \(x + 0 \le 200 \Rightarrow x \le 200\). - \(9x \le 1566 \Rightarrow x \le \dfrac{1566}{9} = 174\). - \(12x \le 2880 \Rightarrow x \le \dfrac{2880}{12} = 240\). O mais restritivo é \(x \le 174\). Logo o ponto extremo sobre o eixo \(x\) é \[(x,y)=(174,0).
  • Se x=0, pelas restrições:
    • 0 + y \le 200 \Rightarrow y \le 200.
    • 6y \le 1566 \Rightarrow y \le \dfrac{1566}{6} = 261.
    • 16y \le 2880 \Rightarrow y \le \dfrac{2880}{16} = 180.
      O mais restritivo é y \le 180. Logo o ponto extremo sobre o eixo y é
    (x,y)=(0,180).
Agora interseções entre pares de retas ativas (resolver sistemas de duas equações):
  • Interseção das restrições bombas e horas de trabalho:
\begin{cases} x + y = 200,\\[4pt] 9x + 6y = 1566. \end{cases}
Substituo y=200-x\] na segunda: \[9x + 6(200-x) = 1566.\] Calculando: \[9x + 1200 - 6x = 1566 \Rightarrow 3x = 366 \Rightarrow x = 122.\] Então \[y = 200 - 122 = 78. Ponto:
(x,y) = (122,78).
  • Interseção das restrições bombas e tubulação:
\begin{cases} x + y = 200,\\[4pt] 12x + 16y = 2880. \end{cases}
Substituo y=200-x\] na segunda: \[12x + 16(200-x) = 2880.\] Calculando: \[12x + 3200 - 16x = 2880 \Rightarrow -4x = -320 \Rightarrow x = 80.\] Então \[y = 200 - 80 = 120. Ponto:
(x,y) = (80,120).
  • Interseção das restrições horas de trabalho e tubulação:
\begin{cases} 9x + 6y = 1566,\\[4pt] 12x + 16y = 2880. \end{cases}
Resolver por substituição ou eliminação. Faço eliminação: multiplico a primeira por 2\] para facilitar: \[\begin{cases} 18x + 12y = 3132,\\\\ 12x + 16y = 2880. \end{cases}\] Subtraio a segunda da primeira: \[(18x-12x) + (12y-16y) = 3132 - 2880 \Rightarrow 6x -4y = 252.\] Isolo \(y usando original primeira: da primeira original 6y = 1566 - 9x então y=261 - 1{,}5x. Substituo na combinação obtida ou resolvo o sistema original direto (vou seguir substituição):
Da equação 6y = 1566 - 9x obtemos y = 261 - 1{,}5x. Substituindo em 12x + 16y = 2880:
12x + 16(261 - 1{,}5x) = 2880.
Calculando:
12x + 4176 - 24x = 2880 \Rightarrow -12x = 2880 - 4176 = -1296 \Rightarrow x = 108.
Então y = 261 - 1{,}5\cdot108 = 261 - 162 = 99. Ponto:
(x,y) = (108,99).
Resumo dos vértices factíveis encontrados:
(0,0),\quad (174,0),\quad (122,78),\quad (80,120),\quad (108,99),\quad (0,180).
(Os pontos (0,0) raramente são ótimos quando há lucro positivo, mas incluo para completude.)]

Passo 6

Avalio a função objetivo Z=350x+300y em cada vértice (mostrando as contas).
  • Em (0,0):
Z = 350\cdot0 + 300\cdot0 = 0.
  • Em (174,0):
Z = 350\cdot174 + 300\cdot0 = 350\cdot174 = 60\,900.
  • Em (0,180):
Z = 350\cdot0 + 300\cdot180 = 54\,000.
  • Em (80,120):
Z = 350\cdot80 + 300\cdot120 = 28\,000 + 36\,000 = 64\,000.
  • Em (122,78):
Z = 350\cdot122 + 300\cdot78 = 42\,700 + 23\,400 = 66\,100.
  • Em (108,99):
Z = 350\cdot108 + 300\cdot99 = 37\,800 + 29\,700 = 67\,500.
Comparando os valores de Z, o maior é 67\,500 obtido no ponto (108,99).

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida:
  • O ponto (108,99) respeita todas as restrições (cada bomba, horas e tubulação não são ultrapassadas).
  • Não existe outro vértice com lucro maior entre os avaliados; pela teoria da programação linear, a solução ótima está em um vértice, então (108,99) é ótima.
  • Logo:
    • Produzir 108 Aqua-Spas e 99 Hydro-Luxes maximiza o lucro.
    • Lucro máximo: \$67{,}500.

Resposta

Aqua-Spas: 108
Hydro-Luxes: 99

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