Exemplo 12: Definição do número e por meio de uma sequência de somas
Considere a sequência cujo termo geral é
a_{n}=1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!} .
Tarefas
  1. Mostre que a sequência ( a_{n} ) é crescente.
  2. Mostre que ( a_{n} ) é limitada.
  3. Justifique, como no livro, por que
2 \leq a_{n} \leq 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}<3 .
  1. Explique por que, sendo crescente e limitada, a sequência ( a_{n} ) é convergente.
  2. Registre a conclusão do exemplo:
e=\lim a_{n} .
Para pensar
  1. Por que cada nova parcela acrescentada garante que a sequência cresce?
  2. Por que comparar com uma soma geométrica ajuda a obter uma limitação superior?

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujo termo geral é
a_{n}=1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}.
As tarefas pedem:
  1. Mostrar que a sequência (a_{n}) é crescente.
  2. Mostrar que (a_{n}) é limitada.
  3. Justificar a desigualdade
2 \leq a_{n} \leq 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}<3.
  1. Explicar por que, sendo crescente e limitada, (a_{n}) é convergente.
  2. Registrar a conclusão
e=\lim a_{n}.
Informações relevantes dadas: a expressão de a_{n} (soma finita das inversas de fatoriais até n!) e as afirmações a provar. Não há outras hipóteses ocultas.

Passo 2

Mostrando que (a_{n}) é crescente (tarefa 1).
Para comparar termos consecutivos calcule a diferença entre a_{n+1} e a_{n}. Escrevendo explicitamente,
a_{n+1}=1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{1}{(n+1)!}.
Logo a diferença é
a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{(n+1)!}.
Explicação didática: \frac{1}{(n+1)!} é sempre positiva para todo n\in\mathbb{N}. Assim cada termo seguinte é obtido somando uma quantidade positiva ao termo anterior, então
a_{n+1}-a_{n}>0\quad\text{para todo }n,
o que significa que a sequência é estritamente crescente. Em linguagem simples: cada nova parcela é positiva, então a soma aumenta a cada passo.

Passo 3

Mostrando que (a_{n}) é limitada e justificando a desigualdade pedida (tarefa 2 e 3).
Primeiro uma desigualdade trivial em baixo (limite inferior). Todos os termos da soma são não negativos, portanto
a_{n}\ge 1+1=2.
Isto dá a parte 2\le a_{n}.
Agora a ideia é comparar cada termo \dfrac{1}{k!} (para k\ge 2) por cima por uma potência de \tfrac{1}{2}. Vamos provar que, para todo inteiro k\ge 2,
k! \ge 2^{\,k-1}.
Prova por indução simples:
  • Base k=2: 2! = 2 = 2^{1}, ok.
  • Passo indutivo: suponha k!\ge 2^{k-1}. Então
(k+1)!=(k+1)k! \ge (k+1)2^{k-1}.
Como k+1\ge 2 para k\ge 1, segue (k+1)2^{k-1}\ge 2\cdot 2^{k-1}=2^{k}. Assim (k+1)!\ge 2^{k}. Isso fecha a indução.
Dessa desigualdade para fatoriais obtemos, para k\ge 2,
\frac{1}{k!}\le\frac{1}{2^{\,k-1}}.
Portanto, comparando termo a termo na soma de a_{n},
a_{n}=1+1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k!}\le 1+1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{2^{\,k-1}}.
Mudando a notação do somatório: se j=k-1 então j vai de 1 a n-1, e
\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{2^{\,k-1}}=\sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{2^{j}}.
Logo obtemos exatamente a desigualdade pedida:
a_{n}\le 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}.

Passo 4

Mostrar que a soma geométrica à direita é menor que 3 e concluir a limitação superior.
Calcule a soma geométrica finita (fórmula conhecida; aqui lembro o porquê): para r\neq 1,
\sum_{j=0}^{m}r^{j}=\frac{1-r^{m+1}}{1-r}.
No nosso caso queremos \sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{2^{j}}. Note que
\sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{2^{j}}=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{1}{2^{j}}-1=\frac{1-(1/2)^{n}}{1-1/2}-1.
Calcule passo a passo (sem pular etapas): 1-1/2=1/2, então
\frac{1-(1/2)^{n}}{1-1/2}=\frac{1-(1/2)^{n}}{1/2}=2\bigl(1-(1/2)^{n}\bigr).
Subtraindo 1
\sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{2^{j}}=2\bigl(1-(1/2)^{n}\bigr)-1=1-2(1/2)^{n}=1-(1/2)^{\,n-1}.
Portanto
a_{n}\le 1+1+\sum_{j=1}^{n-1}\frac{1}{2^{j}}=2+\bigl(1-(1/2)^{\,n-1}\bigr)=3-(1/2)^{\,n-1}.
Como (1/2)^{\,n-1}>0, segue
a_{n}<3.
Juntando com o limite inferior já obtido, conseguimos a desigualdade completa:
2 \leq a_{n} \leq 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}<3.
Isto mostra que (a_{n}) é limitada superiormente por 3 (e inferiormente por 2). Assim a sequência é limitada.

Passo 5

Concluir convergência por monotonia e limitação (tarefa 4).
Agora usamos um resultado básico e muito importante das sequências reais (explicado de forma acessível): toda sequência monotônica e limitada converge. Mais precisamente, se uma sequência é crescente e tem uma cota superior, então ela converge para o supremo (menor limite superior) de seu conjunto de valores. Vou justificar brevemente essa afirmação de forma elementar:
Definição/ideia: seja S=\{a_{n}:n\in\mathbb{N}\}. Como S é não vazia e tem cota superior (por exemplo 3), pelo axioma de completude dos reais existe \alpha=\sup S (o menor número que é maior ou igual a todos os a_n). Para mostrar que a_n\to\alpha tome qualquer \varepsilon>0. Por definição de supremum, \alpha-\varepsilon não é uma cota superior de S, então existe algum índice N com a_{N}>\alpha-\varepsilon. Como a sequência é crescente, para todo n\ge N vale a_{n}\ge a_{N}>\alpha-\varepsilon. E como todos os a_n\le\alpha, temos |a_n-\alpha|<\varepsilon para todo n\ge N. Isso é exatamente a definição de convergência. Logo a_n\to\alpha.
Aplicando ao nosso caso: (a_{n}) é crescente (Passo 2) e limitada (Passo 3), portanto converge. O limite é o supremo do conjunto \{a_n\}.

Passo 6

Registrar a conclusão e identificar e (tarefa 5).
Pelo que vem do cálculo clássico (definição usual de e via somas parciais da série exponencial), define-se
e=\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right).
Assim a sequência converge e seu limite é o número e.

Passo 7

Respostas às perguntas “Para pensar” (explicações intuitivas, curtas).
  1. Por que cada nova parcela acrescentada garante que a sequência cresce?
    Porque a nova parcela \dfrac{1}{(n+1)!} é sempre positiva; somar algo positivo ao valor anterior aumenta a soma. Em termos formais, a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{1}{(n+1)!}>0.
  2. Por que comparar com uma soma geométrica ajuda a obter uma limitação superior?
    Porque a série geométrica tem soma fechada conhecida e decai exponencialmente; se cada termo da nossa soma puder ser majorado por um termo de uma série geométrica cuja soma finita é fácil de calcular, então obtemos uma cota superior explícita (no nosso caso a soma geométrica dá cota 3 independente de n). Em outras palavras, comparar termo a termo com algo conhecido transforma o problema de limitar uma soma complicada numa soma simples que dá um número finito.

Resposta

  1. (a_{n}) é crescente.
  2. (a_{n}) é limitada (por exemplo a_{n}<3 e a_{n}\ge 2).
  3. A desigualdade pedida vale:
2 \leq a_{n} \leq 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}<3.
  1. Sendo crescente e limitada, (a_{n}) é convergente.
  2. Conclusão:
e=\lim_{n\to\infty}a_{n}.
Para pensar 1. Porque cada parcela nova é positiva ( a_{n+1}-a_{n}=1/(n+1)!).
Para pensar 2. Porque a soma geométrica tem fórmula fechada e fornece uma cota superior fácil de calcular.

Exercícios relacionados