Exemplo 12: Definição do número
por meio de uma sequência de somas
Considere a sequência cujo termo geral é
Tarefas
- Mostre que a sequência (
) é crescente.
- Mostre que (
) é limitada.
- Justifique, como no livro, por que
- Explique por que, sendo crescente e limitada, a sequência (
) é convergente.
- Registre a conclusão do exemplo:
Para pensar
- Por que cada nova parcela acrescentada garante que a sequência cresce?
- Por que comparar com uma soma geométrica ajuda a obter uma limitação superior?
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujo termo geral é
As tarefas pedem:
- Mostrar que a sequência
é crescente. - Mostrar que
é limitada. - Justificar a desigualdade
- Explicar por que, sendo crescente e limitada,
é convergente. - Registrar a conclusão
Informações relevantes dadas: a expressão de
(soma finita das inversas de fatoriais até
) e as afirmações a provar. Não há outras hipóteses ocultas.
Passo 2
Mostrando que
é crescente (tarefa 1).
Para comparar termos consecutivos calcule a diferença entre
e
. Escrevendo explicitamente,
Logo a diferença é
Explicação didática:
é sempre positiva para todo
. Assim cada termo seguinte é obtido somando uma quantidade positiva ao termo anterior, então
o que significa que a sequência é estritamente crescente. Em linguagem simples: cada nova parcela é positiva, então a soma aumenta a cada passo.
Passo 3
Mostrando que
é limitada e justificando a desigualdade pedida (tarefa 2 e 3).
Primeiro uma desigualdade trivial em baixo (limite inferior). Todos os termos da soma são não negativos, portanto
Isto dá a parte
.
Agora a ideia é comparar cada termo
(para
) por cima por uma potência de
. Vamos provar que, para todo inteiro
,
Prova por indução simples:
- Base
: , ok. - Passo indutivo: suponha
. Então
Como
para
, segue
. Assim
. Isso fecha a indução.
Dessa desigualdade para fatoriais obtemos, para
,
Portanto, comparando termo a termo na soma de
,
Mudando a notação do somatório: se
então
vai de
a
, e
Logo obtemos exatamente a desigualdade pedida:
Passo 4
Mostrar que a soma geométrica à direita é menor que
e concluir a limitação superior.
Calcule a soma geométrica finita (fórmula conhecida; aqui lembro o porquê): para
,
No nosso caso queremos
. Note que
Calcule passo a passo (sem pular etapas):
, então
Subtraindo
dá
Portanto
Como
, segue
Juntando com o limite inferior já obtido, conseguimos a desigualdade completa:
Isto mostra que
é limitada superiormente por
(e inferiormente por
). Assim a sequência é limitada.
Passo 5
Concluir convergência por monotonia e limitação (tarefa 4).
Agora usamos um resultado básico e muito importante das sequências reais (explicado de forma acessível): toda sequência monotônica e limitada converge. Mais precisamente, se uma sequência é crescente e tem uma cota superior, então ela converge para o supremo (menor limite superior) de seu conjunto de valores. Vou justificar brevemente essa afirmação de forma elementar:
Definição/ideia: seja
. Como
é não vazia e tem cota superior (por exemplo
), pelo axioma de completude dos reais existe
(o menor número que é maior ou igual a todos os
). Para mostrar que
tome qualquer
. Por definição de supremum,
não é uma cota superior de
, então existe algum índice
com
. Como a sequência é crescente, para todo
vale
. E como todos os
, temos
para todo
. Isso é exatamente a definição de convergência. Logo
.
Aplicando ao nosso caso:
é crescente (Passo 2) e limitada (Passo 3), portanto converge. O limite é o supremo do conjunto
.
Passo 6
Registrar a conclusão e identificar
(tarefa 5).
Pelo que vem do cálculo clássico (definição usual de
via somas parciais da série exponencial), define-se
Assim a sequência converge e seu limite é o número
.
Passo 7
Respostas às perguntas “Para pensar” (explicações intuitivas, curtas).
-
Por que cada nova parcela acrescentada garante que a sequência cresce?
Porque a nova parcelaé sempre positiva; somar algo positivo ao valor anterior aumenta a soma. Em termos formais, . -
Por que comparar com uma soma geométrica ajuda a obter uma limitação superior?
Porque a série geométrica tem soma fechada conhecida e decai exponencialmente; se cada termo da nossa soma puder ser majorado por um termo de uma série geométrica cuja soma finita é fácil de calcular, então obtemos uma cota superior explícita (no nosso caso a soma geométrica dá cotaindependente de ). Em outras palavras, comparar termo a termo com algo conhecido transforma o problema de limitar uma soma complicada numa soma simples que dá um número finito.
Resposta
-
é crescente. -
é limitada (por exemplo e ). - A desigualdade pedida vale:
- Sendo crescente e limitada,
é convergente. - Conclusão:
Para pensar 1. Porque cada parcela nova é positiva (
).
Para pensar 2. Porque a soma geométrica tem fórmula fechada e fornece uma cota superior fácil de calcular.
Para pensar 2. Porque a soma geométrica tem fórmula fechada e fornece uma cota superior fácil de calcular.