Exemplo 14
Considere a sequência
Tarefas
- Verifique que
- Mostre que a sequência é decrescente a partir do terceiro termo, conforme indicado no livro.
- Refaça a equivalência usada no exemplo:
- Explique por que o fato de
é utilizado nessa demonstração.
5. Conclua que existe
- Considere a subsequência
e acompanhe o argumento do livro para mostrar que
- Conclua que
Para pensar
- Por que o fato de a sequência ser decrescente e limitada inferiormente garante a existência do limite?
- Por que da igualdade
, juntamente com
, segue que
?
5. Conclua que existe
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede várias coisas. Vou listar claramente o que é solicitado e as informações que já temos:
- Tarefas:
- Verificar que
para todo . - Mostrar que a sequência é decrescente a partir do terceiro termo (ou seja,
para todo ). - Refazer a equivalência indicada:
- Explicar por que o fato
é usado na demonstração do item 2. - Concluir que existe
. - Considerar a subsequência
e acompanhar o argumento do livro para mostrar que . - Concluir que
.
- Verificar que
- Informações úteis já percebidas: temos valores iniciais aproximados (para intuição):
, , , , etc. A sequência cresce até e depois decresce; nosso objetivo é demonstrar formalmente a parte de decrescimento a partir de , provar existência do limite e encontrar seu valor.
Passo 2
Mostrar que
para todo
.
Explicação didática curta: para todo
tem-se
. Se
e
então
(porque a função
é crescente para
e
). Aqui tomamos
,
e
. Assim
Portanto
para todo
.
Comentário de amigo: é uma observação simples — como
é pelo menos
e a raiz enésima é uma potência positiva, o resultado vem direto.
Passo 3
Refazer a equivalência
Explicação passo a passo:
- Começamos com a desigualdade entre raízes:
- Ambas as quantidades são positivas, então podemos elevar os dois lados à potência
(a função é estritamente crescente para ). Elevando: - Calcule cada lado:
. Do outro lado . - Logo obtemos exatamente
- O raciocínio é reversível (se
então, ao tomar a raiz -ésima positiva, recupera-se a desigualdade original), portanto a equivalência está demonstrada.
Pequena dica prática para a prova: elevar aos mesmos expoentes evita manipulações com frações e torna a comparação direta.
Passo 4
Transformar a desigualdade equivalente para uma forma mais manejável e usar a desigualdade
.
Partindo de
, divida ambos os lados por
(positivo), obtém-se
Essa forma é mais útil: ela diz que a desigualdade entre as raízes é equivalente a comparar
com
.
Agora entra a desigualdade fornecida: sabe-se (ou admite-se conforme o enunciado) que
Por isso, para todo
temos
. Assim a desigualdade
é verdadeira sempre que
. Em consequência, para todo
vale
ou seja, a sequência é decrescente a partir de
.
Comentário didático: a ideia é transformar a comparação de raízes em uma comparação envolvendo
, que já é conhecida/estudada (ela tende a
e é menor que
para todos os
inteiros positivos), e então usar que a própria
é pelo menos
quando
.
Passo 5
Verificação dos primeiros termos (para completude) e conclusão sobre monotonicidade:
- Para
: . - Para
: comparar e . Usando a equivalência do passo 3 com obtemos que porque . Logo . - Para todo
já demonstramos .
Portanto a sequência sobe de
até
e a partir de
é decrescente. Em particular, a sequência é decrescente a partir do terceiro termo, como pedido.
Passo 6
Concluir que existe
.
Explicação didática: a sequência
é, a partir de
, monótona decrescente e, pelo Passo 2, é limitada inferiormente por
. Um fato fundamental sobre sequências (teorema do monotone convergence para sequências) é: toda sequência monótona e limitada converge. Aplicando isso à sequência a partir de
(ou seja, olhar a cauda da sequência), concluímos que existe o limite
Breve justificativa do teorema para ficar seguro: se uma sequência é decrescente e tem um limite inferior, então seu ínfimo (menor limite possível) é atingido como limite da sequência — para qualquer
existe um termo da sequência abaixo do ínfimo mais
, e a monotonicidade garante que todos os termos posteriores ficam dentro de
desse ínfimo.
Passo 7
Analisar a subsequência
e obter a relação
.
Raciocínio passo a passo:
- Como
, qualquer subsequência também converge para . Em particular, - Agora observe que
- Tome limites em ambos os lados quando
. O lado esquerdo tende a (porque ), e no lado direito temos o produto de limites: Como produto de limites, - Concluímos, portanto, que
Comentário simpático: é um truque clássico — prende-se uma subsequência que ao ser elevada ao quadrado dá algo que se relaciona com a sequência original; passar ao limite dá uma equação simples para
.
Passo 8
Resolver a equação
usando a desigualdade já provada
, e concluir o valor do limite.
Resolução:
- A equação
é equivalente a - As soluções reais são
ou . - Mas do Passo 2 sabemos que
para todo , logo qualquer limite satisfaz . Portanto é impossível. - Segue que
.
Isso termina a demonstração de que
Passo 9
Responder às perguntas “Para pensar” (explicações conceituais rápidas):
-
Por que o fato de a sequência ser decrescente e limitada inferiormente garante a existência do limite?
- Porque toda sequência monótona e limitada converge. Intuitivamente, uma sequência decrescente que não pode cair indefinidamente (está limitada por baixo) aproxima-se do seu ínfimo; formalmente, o ínfimo é o limite. Isso é o conteúdo do teorema do ponto fixo monotônico para sequências reais.
-
Por que da igualdade
, juntamente com , segue que ? - A equação
implica , então ou . Como já provamos que qualquer limite da sequência satisfaz , a única opção é .
- A equação
Resposta
-
para todo . - A sequência é decrescente para todo
. -
. - A desigualdade
é usada para garantir que, quando , tem-se , o que, pela equivalência do item 3, implica . - Existe
(sequência monótona a partir de e limitada inferiormente). - Para a subsequência
obtém-se . - Portanto
.