Exemplo 14
Considere a sequência
x_{n}=\sqrt[n]{n}=n^{1 / n}
Tarefas
  1. Verifique que
x_{n} \geq 1 \quad \text { para todo } n \in \mathbb{N} \text {. }
  1. Mostre que a sequência é decrescente a partir do terceiro termo, conforme indicado no livro.
  2. Refaça a equivalência usada no exemplo:
\sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1} \quad \Longleftrightarrow \quad n^{n+1}>(n+1)^{n}
  1. Explique por que o fato de
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<3
é utilizado nessa demonstração.
5. Conclua que existe
L=\lim n^{1 / n}
  1. Considere a subsequência (2 n)^{1 / 2 n} e acompanhe o argumento do livro para mostrar que
L^{2}=L
  1. Conclua que
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1
Para pensar
  1. Por que o fato de a sequência ser decrescente e limitada inferiormente garante a existência do limite?
  2. Por que da igualdade L^{2}=L, juntamente com L \geq 1, segue que L=1 ?

Passo 1

O enunciado dá a sequência \;x_{n}=\sqrt[n]{n}=n^{1/n}\; e pede várias coisas. Vou listar claramente o que é solicitado e as informações que já temos:
  • Tarefas:
    1. Verificar que \;x_{n}\ge 1 para todo n\in\mathbb{N}.
    2. Mostrar que a sequência é decrescente a partir do terceiro termo (ou seja, x_{n}>x_{n+1} para todo n\ge 3).
    3. Refazer a equivalência indicada: \sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1}\quad\Longleftrightarrow\quad n^{n+1}>(n+1)^n.
    4. Explicar por que o fato \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}<3 é usado na demonstração do item 2.
    5. Concluir que existe L=\lim_{n\to\infty} n^{1/n}.
    6. Considerar a subsequência x_{2n}=(2n)^{1/(2n)} e acompanhar o argumento do livro para mostrar que L^{2}=L.
    7. Concluir que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.
  • Informações úteis já percebidas: temos valores iniciais aproximados (para intuição): x_1=1, x_2=\sqrt{2}\approx1{,}414, x_3\approx1{,}442, x_4\approx1{,}414, etc. A sequência cresce até n=3 e depois decresce; nosso objetivo é demonstrar formalmente a parte de decrescimento a partir de n=3, provar existência do limite e encontrar seu valor.

Passo 2

Mostrar que \;x_{n}\ge 1 para todo n\in\mathbb{N}.
Explicação didática curta: para todo n\in\mathbb{N} tem-se n\ge 1. Se a\ge b\ge 0 e t>0 então a^{t}\ge b^{t} (porque a função y\mapsto y^{t} é crescente para y\ge0 e t>0). Aqui tomamos a=n, b=1 e t=1/n>0. Assim
n^{1/n}\ge 1^{1/n}=1.
Portanto \;x_{n}=\sqrt[n]{n}\ge 1 para todo n.
Comentário de amigo: é uma observação simples — como n é pelo menos 1 e a raiz enésima é uma potência positiva, o resultado vem direto.

Passo 3

Refazer a equivalência
\sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1}\quad\Longleftrightarrow\quad n^{n+1}>(n+1)^n.
Explicação passo a passo:
  • Começamos com a desigualdade entre raízes: \sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1}.
  • Ambas as quantidades são positivas, então podemos elevar os dois lados à potência n(n+1) (a função t\mapsto t^{n(n+1)} é estritamente crescente para t>0). Elevando: \big(\sqrt[n]{n}\big)^{n(n+1)}>\big(\sqrt[n+1]{n+1}\big)^{n(n+1)}.
  • Calcule cada lado: \big(\sqrt[n]{n}\big)^{n(n+1)}=\big(n^{1/n}\big)^{n(n+1)}=n^{n+1}. Do outro lado \big(\sqrt[n+1]{n+1}\big)^{n(n+1)}=(n+1)^{n}.
  • Logo obtemos exatamente n^{n+1}>(n+1)^n.
  • O raciocínio é reversível (se n^{n+1}>(n+1)^n então, ao tomar a raiz n(n+1)-ésima positiva, recupera-se a desigualdade original), portanto a equivalência está demonstrada.
Pequena dica prática para a prova: elevar aos mesmos expoentes evita manipulações com frações e torna a comparação direta.

Passo 4

Transformar a desigualdade equivalente para uma forma mais manejável e usar a desigualdade \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}<3.
Partindo de n^{n+1}>(n+1)^n, divida ambos os lados por n^n (positivo), obtém-se
n>(1+\tfrac{1}{n})^{n}.
Essa forma é mais útil: ela diz que a desigualdade entre as raízes é equivalente a comparar n com \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}.
Agora entra a desigualdade fornecida: sabe-se (ou admite-se conforme o enunciado) que
\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^{n}<3\quad\text{para todo }n.
Por isso, para todo n\ge 3 temos n\ge 3 > \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^{n}. Assim a desigualdade n>(1+\tfrac{1}{n})^{n} é verdadeira sempre que n\ge 3. Em consequência, para todo n\ge 3 vale
\sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1},
ou seja, a sequência é decrescente a partir de n=3.
Comentário didático: a ideia é transformar a comparação de raízes em uma comparação envolvendo \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^{n}, que já é conhecida/estudada (ela tende a e e é menor que 3 para todos os n inteiros positivos), e então usar que a própria n é pelo menos 3 quando n\ge 3.

Passo 5

Verificação dos primeiros termos (para completude) e conclusão sobre monotonicidade:
  • Para n=1: x_1=1.
  • Para n=2: comparar x_2=\sqrt{2} e x_3=3^{1/3}. Usando a equivalência do passo 3 com n=2 obtemos que x_2<x_3 porque 2^{3}=8<9=3^{2}. Logo x_1<x_2<x_3.
  • Para todo n\ge 3 já demonstramos x_n>x_{n+1}.
Portanto a sequência sobe de n=1 até n=3 e a partir de n=3 é decrescente. Em particular, a sequência é decrescente a partir do terceiro termo, como pedido.

Passo 6

Concluir que existe L=\lim_{n\to\infty} n^{1/n}.
Explicação didática: a sequência (x_n) é, a partir de n=3, monótona decrescente e, pelo Passo 2, é limitada inferiormente por 1. Um fato fundamental sobre sequências (teorema do monotone convergence para sequências) é: toda sequência monótona e limitada converge. Aplicando isso à sequência a partir de n=3 (ou seja, olhar a cauda da sequência), concluímos que existe o limite
L=\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty} n^{1/n}.
Breve justificativa do teorema para ficar seguro: se uma sequência é decrescente e tem um limite inferior, então seu ínfimo (menor limite possível) é atingido como limite da sequência — para qualquer \varepsilon>0 existe um termo da sequência abaixo do ínfimo mais \varepsilon, e a monotonicidade garante que todos os termos posteriores ficam dentro de \varepsilon desse ínfimo.

Passo 7

Analisar a subsequência x_{2n}=(2n)^{1/(2n)} e obter a relação L^{2}=L.
Raciocínio passo a passo:
  • Como x_n\to L, qualquer subsequência também converge para L. Em particular, \lim_{n\to\infty} x_{2n}=\lim_{n\to\infty} (2n)^{1/(2n)} = L.
  • Agora observe que \big((2n)^{1/(2n)}\big)^{2}=(2n)^{1/n}=2^{1/n}\,n^{1/n}=2^{1/n}\,x_n.
  • Tome limites em ambos os lados quando n\to\infty. O lado esquerdo tende a L^{2} (porque x_{2n}\to L), e no lado direito temos o produto de limites: \lim_{n\to\infty} 2^{1/n}=1,\qquad \lim_{n\to\infty} x_n=L.Como produto de limites, \lim_{n\to\infty} 2^{1/n} x_n = 1\cdot L = L.
  • Concluímos, portanto, que L^{2}=L.
Comentário simpático: é um truque clássico — prende-se uma subsequência que ao ser elevada ao quadrado dá algo que se relaciona com a sequência original; passar ao limite dá uma equação simples para L.

Passo 8

Resolver a equação L^{2}=L usando a desigualdade já provada L\ge 1, e concluir o valor do limite.
Resolução:
  • A equação L^{2}=L é equivalente a L(L-1)=0.
  • As soluções reais são L=0 ou L=1.
  • Mas do Passo 2 sabemos que x_n\ge 1 para todo n, logo qualquer limite L satisfaz L\ge 1. Portanto L=0 é impossível.
  • Segue que L=1.
Isso termina a demonstração de que
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1.

Passo 9

Responder às perguntas “Para pensar” (explicações conceituais rápidas):
  1. Por que o fato de a sequência ser decrescente e limitada inferiormente garante a existência do limite?
    • Porque toda sequência monótona e limitada converge. Intuitivamente, uma sequência decrescente que não pode cair indefinidamente (está limitada por baixo) aproxima-se do seu ínfimo; formalmente, o ínfimo é o limite. Isso é o conteúdo do teorema do ponto fixo monotônico para sequências reais.
  2. Por que da igualdade L^{2}=L, juntamente com L\ge 1, segue que L=1?
    • A equação L^{2}=L implica L(L-1)=0, então L=0 ou L=1. Como já provamos que qualquer limite L da sequência satisfaz L\ge 1, a única opção é L=1.

Resposta

  1. \sqrt[n]{n}\ge 1 para todo n\in\mathbb{N}.
  2. A sequência é decrescente para todo n\ge 3.
  3. \displaystyle \sqrt[n]{n}>\sqrt[n+1]{n+1}\iff n^{n+1}>(n+1)^n.
  4. A desigualdade \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}<3 é usada para garantir que, quando n\ge 3, tem-se n>(1+\tfrac{1}{n})^{n}, o que, pela equivalência do item 3, implica x_n>x_{n+1}.
  5. Existe L=\lim_{n\to\infty} n^{1/n} (sequência monótona a partir de n=3 e limitada inferiormente).
  6. Para a subsequência x_{2n} obtém-se L^{2}=L.
  7. Portanto \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1.

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