Exemplo 13.0.2. Calcule
, onde
formado pelo arco
da parábola
de
a
seguido pelo segmento de reta vertical
a
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
.
Informações dadas:
é o caminho formado por duas partes encadeadas:
- o arco
da parábola que vai de a ; - o segmento de reta vertical
que vai de a .
Portanto precisamos somar a contribuição de cada parte:
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): quando temos uma função escalar
e um arco
parametrizado por
a integral de linha de
em relação ao comprimento de arco é dada por
Aqui
é a velocidade do parâmetro: ela representa quanto o comprimento do arco cresce quando
cresce um pouquinho — é o diferencial
expresso em termos de
.
Então o plano é: parametrizar cada pedaço e
, calcular
, formar
e integrar no intervalo de parâmetro.
Então o plano é: parametrizar cada pedaço
Passo 3
Parametrização de
(parábola
de
a
):
uma escolha natural é tomar com
.
Calculemos as derivadas:
uma escolha natural é tomar
Calculemos as derivadas:
A velocidade é
A integranda
em termos de
vira
. Assim a integral sobre
é
Passo 4
Cálculo da integral
(mostrando cada passo):
fazer a substituição . Então
fazer a substituição
Limites: quando
temos
; quando
temos
. Substituindo,
Agora integrar
:
Logo
Podemos também escrever
, então
Passo 5
Parametrização de
(segmento vertical de
a
):
uma escolha direta é com
.
Derivadas:
uma escolha direta é
Derivadas:
A velocidade é
e
ao longo deste segmento é
(constante). Portanto
Passo 6
Somamos as duas contribuições:
Colocando com denominador comum
:
Forma equivalente: