Exemplo 13.0.2. Calcule \int_{\gamma} 2 x d s, onde \gamma formado pelo arco \gamma_{1} da parábola y=x^{2} de (0,0) a (1,1) seguido pelo segmento de reta vertical (1,1) a (1,2).

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \int_{\gamma} 2x\,ds.
Informações dadas:
\gamma é o caminho formado por duas partes encadeadas:
  1. o arco \gamma_{1} da parábola y=x^{2} que vai de (0,0) a (1,1);
  2. o segmento de reta vertical \gamma_{2} que vai de (1,1) a (1,2).
Portanto precisamos somar a contribuição de cada parte:
\int_{\gamma} 2x\,ds \;=\; \int_{\gamma_{1}} 2x\,ds \;+\; \int_{\gamma_{2}} 2x\,ds.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): quando temos uma função escalar f(x,y) e um arco \gamma parametrizado por
x=x(t),\quad y=y(t),\qquad t\in[a,b],
a integral de linha de f em relação ao comprimento de arco é dada por
\int_{\gamma} f(x,y)\,ds \;=\; \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}\,dt.
Aqui \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} é a velocidade do parâmetro: ela representa quanto o comprimento do arco cresce quando t cresce um pouquinho — é o diferencial ds expresso em termos de dt.
Então o plano é: parametrizar cada pedaço \gamma_{1} e \gamma_{2}, calcular x',y', formar f(x(t),y(t))\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} e integrar no intervalo de parâmetro.

Passo 3

Parametrização de \gamma_{1} (parábola y=x^{2} de (0,0) a (1,1)):
uma escolha natural é tomar x=t,\;y=t^{2} com t\in[0,1].
Calculemos as derivadas:
x'(t)=1,\qquad y'(t)=2t.
A velocidade é
\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}=\sqrt{1^{2}+(2t)^{2}}=\sqrt{1+4t^{2}}.
A integranda 2x em termos de t vira 2t. Assim a integral sobre \gamma_{1} é
\int_{\gamma_{1}} 2x\,ds \;=\; \int_{0}^{1} 2t\sqrt{1+4t^{2}}\,dt.

Passo 4

Cálculo da integral \displaystyle \int_{0}^{1} 2t\sqrt{1+4t^{2}}\,dt (mostrando cada passo):
fazer a substituição \;u=1+4t^{2}\;. Então
du=8t\,dt \quad\Rightarrow\quad 2t\,dt=\frac{du}{4}.
Limites: quando t=0 temos u=1; quando t=1 temos u=5. Substituindo,
\int_{0}^{1} 2t\sqrt{1+4t^{2}}\,dt \;=\; \int_{u=1}^{u=5} \frac{1}{4}\sqrt{u}\,du \;=\; \frac{1}{4}\int_{1}^{5} u^{1/2}\,du.
Agora integrar u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Logo
\frac{1}{4}\int_{1}^{5} u^{1/2}\,du \;=\; \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\big[u^{3/2}\big]_{1}^{5} \;=\; \frac{1}{6}\big(5^{3/2}-1\big).
Podemos também escrever 5^{3/2}=5\sqrt{5}, então
\int_{\gamma_{1}} 2x\,ds \;=\; \frac{1}{6}\big(5^{3/2}-1\big).

Passo 5

Parametrização de \gamma_{2} (segmento vertical de (1,1) a (1,2)):
uma escolha direta é x=1,\;y=t com t\in[1,2].
Derivadas:
x'(t)=0,\qquad y'(t)=1.
A velocidade é
\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}}=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1,
e 2x ao longo deste segmento é 2\cdot 1=2 (constante). Portanto
\int_{\gamma_{2}} 2x\,ds \;=\; \int_{1}^{2} 2\cdot 1\,dt \;=\; \int_{1}^{2} 2\,dt \;=\; 2(2-1)=2.

Passo 6

Somamos as duas contribuições:
\int_{\gamma} 2x\,ds \;=\; \int_{\gamma_{1}} 2x\,ds \;+\; \int_{\gamma_{2}} 2x\,ds \;=\; \frac{1}{6}\big(5^{3/2}-1\big) \;+\; 2.
Colocando com denominador comum \;6\;:
\frac{1}{6}\big(5^{3/2}-1\big)+2 \;=\; \frac{1}{6}\big(5^{3/2}-1+12\big) \;=\; \frac{1}{6}\big(5^{3/2}+11\big).
Forma equivalente:
\frac{5\sqrt{5}+11}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}\big(5^{3/2}+11\big)

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