Mostre que os polinômios complexos são funções sobrejetivas. Sugestão: Use o Teorema Fundamental da Álgebra. Note que isso não é verdade em \mathbb{R}.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que os polinômios complexos são funções sobrejetivas.
Informações dadas e o que vamos usar: um polinômio p tem coeficientes em \mathbb{C} e pode ser constante ou não; a sugestão é usar o Teorema Fundamental da Álgebra (TFA).
Pergunta explícita: provar que, para todo w\in\mathbb{C}, existe z\in\mathbb{C} tal que p(z)=w (isto é a definição de sobrejetividade).
Observação importante já listada: a afirmação não é verdadeira em \mathbb{R} (o enunciado pede que notemos isso).

Passo 2

Definição precisa de sobrejetividade (para eu e você ficarmos alinhados): dizer que a função p:\mathbb{C}\to\mathbb{C} é sobrejetiva significa que
\text{para todo } w\in\mathbb{C}\text{ existe } z\in\mathbb{C}\text{ tal que }p(z)=w.
Também convém esclarecer o que é um polinômio constante vs. não-constante: um polinômio p(z)=a_n z^n+\cdots+a_1 z+a_0 tem grau n. Se n=0 ele é constante; se n\ge 1 é não-constante.

Passo 3

Enunciado do Teorema Fundamental da Álgebra (TFA), em forma que vamos usar:
\text{Todo polinômio não-constante com coeficientes em }\mathbb{C}\text{ tem pelo menos uma raiz em }\mathbb{C}.ôã
Consequência útil (equivalente): qualquer polinômio não-constante com coeficientes em \mathbb{C} pode ser fatorado como produto de fatores lineares em \mathbb{C}; em particular, tal polinômio tem pelo menos uma solução igual a zero. Vou usar apenas a forma “tem pelo menos uma raiz”.

Passo 4

Aplicação direta do TFA ao objetivo: pegue um polinômio fixo p com coeficientes em \mathbb{C} e escolha um w\in\mathbb{C} arbitrário. Considere o polinômio
q(z):=p(z)-w.
Note que subtrair a constante w não altera o grau de p: se p é não-constante, então q também é não-constante (mesmo grau). Pelo TFA, q tem pelo menos uma raiz complexa; isto é, existe z\in\mathbb{C} tal que
q(z)=0\quad\Longrightarrow\quad p(z)-w=0\quad\Longrightarrow\quad p(z)=w.
Como w era arbitrário, concluímos que para todo w\in\mathbb{C} existe z\in\mathbb{C} com p(z)=w. Isso é exatamente a definição de sobrejetividade.

Passo 5

Tratamento do caso constante: se p for constante (grau 0), então p(z)=c para todo z e a imagem de p é o conjunto \{c\}, que não é igual a \mathbb{C} (a menos que se considere um espaço com um ponto, o que não é o caso). Portanto polinômios constantes não são sobrejetivos onto \mathbb{C}. Assim a afirmação correta é: todo polinômio não-constante p:\mathbb{C}\to\mathbb{C} é sobrejetivo; polinômios constantes não o são.

Passo 6

Comentário sobre \mathbb{R} (contraexemplo mostrado como pedido): a afirmação falha em \mathbb{R}. Exemplo simples: o polinômio real r(x)=x^2+1 tem imagem [1,\infty), logo não atinge, por exemplo, 0\in\mathbb{R}. Assim r:\mathbb{R}\to\mathbb{R} não é sobrejetivo. O que muda é que o TFA usa crucialmente \mathbb{C}; sobre os reais polinômios de grau par podem não ter raízes reais, impedindo a mesma conclusão.

Resposta

Todo polinômio não-constante p:\mathbb{C}\to\mathbb{C} é sobrejetivo: para qualquer w\in\mathbb{C} o polinômio p(z)-w é não-constante e, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, tem pelo menos uma raiz z\in\mathbb{C} tal que p(z)=w. Polinômios constantes não são sobrejetivos. Em \mathbb{R} a afirmação é falsa (ex.: x^2+1 não atinge 0).

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