Mostre que os polinômios complexos são funções sobrejetivas. Sugestão: Use o Teorema Fundamental da Álgebra. Note que isso não é verdade em
.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que os polinômios complexos são funções sobrejetivas.
Informações dadas e o que vamos usar: um polinômio tem coeficientes em
e pode ser constante ou não; a sugestão é usar o Teorema Fundamental da Álgebra (TFA).
Pergunta explícita: provar que, para todo , existe
tal que
(isto é a definição de sobrejetividade).
Observação importante já listada: a afirmação não é verdadeira em (o enunciado pede que notemos isso).
Informações dadas e o que vamos usar: um polinômio
Pergunta explícita: provar que, para todo
Observação importante já listada: a afirmação não é verdadeira em
Passo 2
Definição precisa de sobrejetividade (para eu e você ficarmos alinhados): dizer que a função
é sobrejetiva significa que
Também convém esclarecer o que é um polinômio constante vs. não-constante: um polinômio
tem grau
. Se
ele é constante; se
é não-constante.
Passo 3
Enunciado do Teorema Fundamental da Álgebra (TFA), em forma que vamos usar:
Consequência útil (equivalente): qualquer polinômio não-constante com coeficientes em
pode ser fatorado como produto de fatores lineares em
; em particular, tal polinômio tem pelo menos uma solução igual a zero. Vou usar apenas a forma “tem pelo menos uma raiz”.
Passo 4
Aplicação direta do TFA ao objetivo: pegue um polinômio fixo
com coeficientes em
e escolha um
arbitrário. Considere o polinômio
Note que subtrair a constante
não altera o grau de
: se
é não-constante, então
também é não-constante (mesmo grau). Pelo TFA,
tem pelo menos uma raiz complexa; isto é, existe
tal que
Como
era arbitrário, concluímos que para todo
existe
com
. Isso é exatamente a definição de sobrejetividade.
Passo 5
Tratamento do caso constante: se
for constante (grau
), então
para todo
e a imagem de
é o conjunto
, que não é igual a
(a menos que se considere um espaço com um ponto, o que não é o caso). Portanto polinômios constantes não são sobrejetivos onto
. Assim a afirmação correta é: todo polinômio não-constante
é sobrejetivo; polinômios constantes não o são.
Passo 6
Comentário sobre
(contraexemplo mostrado como pedido): a afirmação falha em
. Exemplo simples: o polinômio real
tem imagem
, logo não atinge, por exemplo,
. Assim
não é sobrejetivo. O que muda é que o TFA usa crucialmente
; sobre os reais polinômios de grau par podem não ter raízes reais, impedindo a mesma conclusão.
Resposta
Todo polinômio não-constante
é sobrejetivo: para qualquer
o polinômio
é não-constante e, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, tem pelo menos uma raiz
tal que
. Polinômios constantes não são sobrejetivos. Em
a afirmação é falsa (ex.:
não atinge
).