Exemplo 14 - Um sinal de tempo discreto x[n] é definido por
x[n]=\left\{\begin{array}{c} 1,0 \leq n \leq 9 \\\\ 0, \text { caso contrário } \end{array}\right.
Usando u[n], descreva x[n] como a superposição de duas funções degrau.
Passo 1
O enunciado dá a sequência discreta x[n]\) definida por
\[x[n]=\begin{cases} 1, & 0 \le n \le 9,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
A tarefa é: usando a função degrau u[n]\], descrever \(x[n] como a superposição (combinação linear) de duas funções degrau. Então o que preciso devolver é uma expressão de x[n] escrita apenas com somas/constantes e funções do tipo u[\cdot].]
Passo 2
Vamos lembrar o que é a função degrau discreta u[n]\). Por definição:
\[u[n]=\begin{cases} 1, & n \ge 0,\\[4pt] 0, & n<0. \end{cases}
Intuitivamente, u[n]\] "liga" em \(n=0 e fica 1 a partir daí. Essa é a peça básica que vamos deslocar e combinar.]
Passo 3
Entendendo o deslocamento do degrau: se eu escrevo u[n-k]\), isso significa que o degrau está deslocado para a direita em \(k\). Ou seja,
\[u[n-k]=\begin{cases} 1, & n \ge k,\\[4pt] 0, & n<k. \end{cases}
Portanto u[n]\] vira 1 a partir de \(n=0, e u[n-10] vira 1 a partir de n=10.]
Passo 4
Como construir um pulso retangular de duração finita usando degraus? A ideia padrão é subtrair dois degraus deslocados: o degrau que “liga” no começo do pulso menos o degrau que “liga” logo depois do fim do pulso, assim o trecho entre eles fica valendo 1 e fora desse trecho fica 0.
No nosso caso o pulso começa em n=0 e termina em n=9. O degrau que liga no início é u[n]. O degrau que liga logo após o fim (ou seja, em n=10) é u[n-10]. Então a expressão candidata é
x[n]=u[n]-u[n-10].
Passo 5
Vamos verificar ponto a ponto que essa expressão realmente reproduz x[n].
Se n<0: então u[n]=0 e u[n-10]=0, logo u[n]-u[n-10]=0-0=0. Isso coincide com x[n]=0 para n<0.
Se 0 \le n \le 9: então u[n]=1 (porque n\ge0) e u[n-10]=0 (porque n<10). Logo u[n]-u[n-10]=1-0=1. Isso coincide com x[n]=1 nesse intervalo.
Se n\ge 10: então u[n]=1 e u[n-10]=1, logo u[n]-u[n-10]=1-1=0. Isso coincide com x[n]=0 para n\ge10.
Portanto a expressão funciona em todas as faixas de n.
Passo 6
Resumo didático e regra geral: mostrar que um retângulo discreto que vale 1 para a \le n \le b-1 e 0 caso contrário pode ser escrito como
\text{retângulo}[n]=u[n-a]-u[n-b].â
No nosso problema temos a=0 e b=10, daí a forma u[n]-u[n-10]. Dica de prova rápida: comparar valores em n<a, a\le n\le b-1 e n\ge b, como fiz acima.