Exemplo 19 - Considere um sistema de tempo discreto cuja relação de entrada-saída seja definida por
Passo 1
O enunciado dá a relação entrada-saída
com a constante real
.
Como o enunciado não especifica uma pergunta explícita, vou analisar as propriedades básicas que costumam aparecer em provas para esse tipo de sistema. Vou responder, passo a passo, se o sistema é:
Como o enunciado não especifica uma pergunta explícita, vou analisar as propriedades básicas que costumam aparecer em provas para esse tipo de sistema. Vou responder, passo a passo, se o sistema é:
- linearidade;
- invariante no tempo (time-invariant);
- com memória (memory) ou sem memória (memoryless);
- causalidade;
- estabilidade BIBO (Bounded-Input, Bounded-Output);
- invertibilidade.
Passo 2
Definição operacional e notação. Vou chamar o operador do sistema de
, isto é, para qualquer sinal de entrada
o sistema dá a saída
onde
é o índice de tempo discreto (um inteiro) e
é uma constante fixa maior que
. Antes de testar cada propriedade, lembro as definições usadas nos testes.
Passo 3
Definição de linearidade. Um sistema
é linear se, para quaisquer sinais
,
e quaisquer escalares
, vale
Vou aplicar isso ao nosso
.
Passo 4
Teste de linearidade (álgebra passo a passo). Começo calculando a ação de
sobre a combinação linear
:
Distribuindo
:
Mas
e
. Logo
Conclusão: o sistema é linear.
Passo 5
Definição de invariância no tempo. Um sistema é invariante no tempo se, para qualquer deslocamento inteiro
,
ou seja, aplicar um deslocamento na entrada e depois o sistema é o mesmo que aplicar o sistema e depois deslocar a saída. Vou calcular os dois lados e comparar.
Passo 6
Teste de invariância no tempo (álgebra). Primeiro calcule
:
Agora calcule a saída deslocada
, onde
:
Compare as duas expressões:
Para serem iguais para todo
e todo
seria necessário
para todo
, i.e.
. Mas
e
só se
. Para deslocamentos não nulos a igualdade falha. Portanto o sistema não é invariante no tempo (é time-varying).
Passo 7
Explicação intuitiva sobre a não-invariância: o fator multiplicativo
depende explicitamente do instante
. Isso quebra a propriedade de invariância no tempo porque o “ganho” do sistema muda com o tempo. Um exemplo numérico rápido: com
e
, para a mesma entrada
(impulso em zero) temos
enquanto
são diferentes em escala (
versus
) no ponto onde a saída é não nula, confirmando a variação no tempo.
Passo 8
Definição de memória (memoryless). Um sistema é sem memória (memoryless) se, para cada instante
, a saída
depende apenas do valor da entrada no mesmo instante
(não depende de
com
). Vou verificar isso.
Passo 9
Teste de memória. A expressão é
Aqui
depende somente de
e do coeficiente
, que é uma função do tempo, mas não envolve valores
com
. Portanto o sistema é sem memória (memoryless). Observação didática: coeficiente temporal não implica memória — memória refere-se a dependência de valores de entrada em instantes diferentes.
Passo 10
Definição de causalidade. Um sistema é causal se, para cada instante
,
depende apenas de
com
(não pode depender de entradas futuras
com
). Vou verificar.
Passo 11
Teste de causalidade. A saída em
é
, que depende apenas de
(instante presente) — não depende de
com
. Logo o sistema é causal. Em palavras: não olha para o futuro da entrada, só para o presente (e não para o passado, neste caso).
Passo 12
Definição de estabilidade BIBO. Um sistema é BIBO estável se todo sinal de entrada limitado produz uma saída limitada; formalmente: existe constante finita
tal que, para todo
,
Vou ver se essa condição pode ser satisfeita para o nosso sistema.
Passo 13
Teste de estabilidade BIBO (construtivo). Suponha que
é limitada: existe
tal que
para todo
. Então
Para que exista uma constante
com
precisamos que
seja limitada quando variamos
sobre o domínio do sistema. Mas como
, a sequência
cresce sem limite quando
. Logo
(supondo que
pode crescer arbitrariamente), e não existe constante finita
que funcione para todos os
. Portanto o sistema não é BIBO estável.
Passo 14
Exemplo explícito para deixar claro (contraexemplo). Escolha a entrada limitada
para todo
. Então
. A saída é
que tende a
quando
. Logo um sinal de entrada limitado gerou saída não limitada; isto basta para concluir instabilidade BIBO.
Passo 15
Definição e teste de invertibilidade. Um sistema é invertível se existe outro sistema
tal que, para toda entrada
,
Procuramos uma operação que recupere
a partir de
.
Passo 16
Encontrando o inverso. A relação
pode ser resolvida isolando
:
Portanto a operação inversa é simplesmente multiplicar por
. Definindo
, temos
Assim o sistema é invertível e o inverso explícito é
.
Passo 17
Observações finais e intuições rápidas:
- Mesmo sendo invertível, o sistema e/ou seu inverso podem ou não ser estáveis; aqui tanto
quanto têm fatores dependentes de que podem causar crescimento/exponencial decrescente dependendo do sinal de . Em particular, é instável porque o fator cresce para quando . - A presença de um ganho dependente do tempo (
) é a razão principal por que o sistema é time-varying e instável, mesmo sendo linear e memoryless.
Resposta
Linear: sim.
Invariante no tempo: não (time-varying).
Sem memória (memoryless): sim.
Causal: sim.
BIBO estável: não (instável).
Invertível: sim; inverso .
Invariante no tempo: não (time-varying).
Sem memória (memoryless): sim.
Causal: sim.
BIBO estável: não (instável).
Invertível: sim; inverso