Exemplo 19 - Considere um sistema de tempo discreto cuja relação de entrada-saída seja definida por
y[n]=r^{n} x[n], \text { em que } r>1

Passo 1

O enunciado dá a relação entrada-saída
y[n]=r^{n}x[n],
com a constante real r>1.
Como o enunciado não especifica uma pergunta explícita, vou analisar as propriedades básicas que costumam aparecer em provas para esse tipo de sistema. Vou responder, passo a passo, se o sistema é:
  • linearidade;
  • invariante no tempo (time-invariant);
  • com memória (memory) ou sem memória (memoryless);
  • causalidade;
  • estabilidade BIBO (Bounded-Input, Bounded-Output);
  • invertibilidade.

Passo 2

Definição operacional e notação. Vou chamar o operador do sistema de \mathcal{T}, isto é, para qualquer sinal de entrada x[n] o sistema dá a saída
\mathcal{T}\{x[n]\}=y[n]=r^{n}x[n],
onde n é o índice de tempo discreto (um inteiro) e r é uma constante fixa maior que 1. Antes de testar cada propriedade, lembro as definições usadas nos testes.

Passo 3

Definição de linearidade. Um sistema \mathcal{T} é linear se, para quaisquer sinais x_1[n], x_2[n] e quaisquer escalares a,b, vale
\mathcal{T}\{a x_1[n] + b x_2[n]\} = a\,\mathcal{T}\{x_1[n]\} + b\,\mathcal{T}\{x_2[n]\}.
Vou aplicar isso ao nosso \mathcal{T}.

Passo 4

Teste de linearidade (álgebra passo a passo). Começo calculando a ação de \mathcal{T} sobre a combinação linear a x_1[n]+b x_2[n]:
\mathcal{T}\{a x_1[n]+b x_2[n]\} = r^{n}\bigl(a x_1[n] + b x_2[n]\bigr).
Distribuindo r^{n}:
r^{n}\bigl(a x_1[n] + b x_2[n]\bigr) = a\,r^{n}x_1[n] + b\,r^{n}x_2[n].
Mas r^{n}x_1[n]=\mathcal{T}\{x_1[n]\} e r^{n}x_2[n]=\mathcal{T}\{x_2[n]\}. Logo
\mathcal{T}\{a x_1[n]+b x_2[n]\} = a\,\mathcal{T}\{x_1[n]\} + b\,\mathcal{T}\{x_2[n]\}.
Conclusão: o sistema é linear.

Passo 5

Definição de invariância no tempo. Um sistema é invariante no tempo se, para qualquer deslocamento inteiro n_0,
\mathcal{T}\{x[n-n_0]\} = y[n-n_0],
ou seja, aplicar um deslocamento na entrada e depois o sistema é o mesmo que aplicar o sistema e depois deslocar a saída. Vou calcular os dois lados e comparar.

Passo 6

Teste de invariância no tempo (álgebra). Primeiro calcule \mathcal{T}\{x[n-n_0]\}:
\mathcal{T}\{x[n-n_0]\} = r^{n}\,x[n-n_0].
Agora calcule a saída deslocada y[n-n_0], onde y[n]=\mathcal{T}\{x[n]\}=r^{n}x[n]:
y[n-n_0] = r^{\,n-n_0}\,x[n-n_0].
Compare as duas expressões:
\mathcal{T}\{x[n-n_0]\}=r^{n}x[n-n_0],\qquad y[n-n_0]=r^{\,n-n_0}x[n-n_0].
Para serem iguais para todo n e todo x[n] seria necessário r^{n}=r^{n-n_0} para todo n, i.e. r^{n_0}=1. Mas r>1 e r^{n_0}=1 só se n_0=0. Para deslocamentos não nulos a igualdade falha. Portanto o sistema não é invariante no tempo (é time-varying).

Passo 7

Explicação intuitiva sobre a não-invariância: o fator multiplicativo r^{n} depende explicitamente do instante n. Isso quebra a propriedade de invariância no tempo porque o “ganho” do sistema muda com o tempo. Um exemplo numérico rápido: com r=2 e n_0=1, para a mesma entrada x[n]=\delta[n] (impulso em zero) temos
\mathcal{T}\{x[n-1]\} = 2^{n}\delta[n-1],
enquanto
y[n-1] = 2^{n-1}\delta[n-1],
são diferentes em escala ( 2^{n} versus 2^{n-1}) no ponto onde a saída é não nula, confirmando a variação no tempo.

Passo 8

Definição de memória (memoryless). Um sistema é sem memória (memoryless) se, para cada instante n, a saída y[n] depende apenas do valor da entrada no mesmo instante x[n] (não depende de x[m] com m\neq n). Vou verificar isso.

Passo 9

Teste de memória. A expressão é
y[n]=r^{n}x[n].
Aqui y[n] depende somente de x[n] e do coeficiente r^{n}, que é uma função do tempo, mas não envolve valores x[m] com m\ne n. Portanto o sistema é sem memória (memoryless). Observação didática: coeficiente temporal não implica memória — memória refere-se a dependência de valores de entrada em instantes diferentes.

Passo 10

Definição de causalidade. Um sistema é causal se, para cada instante n_0, y[n_0] depende apenas de x[n] com n\le n_0 (não pode depender de entradas futuras x[n] com n>n_0). Vou verificar.

Passo 11

Teste de causalidade. A saída em n é y[n]=r^{n}x[n], que depende apenas de x[n] (instante presente) — não depende de x[m] com m>n. Logo o sistema é causal. Em palavras: não olha para o futuro da entrada, só para o presente (e não para o passado, neste caso).

Passo 12

Definição de estabilidade BIBO. Um sistema é BIBO estável se todo sinal de entrada limitado produz uma saída limitada; formalmente: existe constante finita C tal que, para todo x[n],
\sup_{n}|y[n]| \le C\cdot \sup_{n}|x[n]|.
Vou ver se essa condição pode ser satisfeita para o nosso sistema.

Passo 13

Teste de estabilidade BIBO (construtivo). Suponha que x[n] é limitada: existe M tal que |x[n]|\le M para todo n. Então
|y[n]| = |r^{n}x[n]| = r^{n}|x[n]| \le r^{n}M.
Para que exista uma constante C com \sup_{n}|y[n]| \le C M precisamos que r^{n} seja limitada quando variamos n sobre o domínio do sistema. Mas como r>1, a sequência r^{n} cresce sem limite quando n\to+\infty. Logo \sup_{n} r^{n} = +\infty (supondo que n pode crescer arbitrariamente), e não existe constante finita C que funcione para todos os n. Portanto o sistema não é BIBO estável.

Passo 14

Exemplo explícito para deixar claro (contraexemplo). Escolha a entrada limitada x[n]=1 para todo n. Então |x[n]|\le 1. A saída é
y[n]=r^{n}\cdot 1 = r^{n},
que tende a +\infty quando n\to+\infty. Logo um sinal de entrada limitado gerou saída não limitada; isto basta para concluir instabilidade BIBO.

Passo 15

Definição e teste de invertibilidade. Um sistema é invertível se existe outro sistema \mathcal{T}^{-1} tal que, para toda entrada x[n],
\mathcal{T}^{-1}\{\mathcal{T}\{x[n]\}\} = x[n].
Procuramos uma operação que recupere x[n] a partir de y[n]=r^{n}x[n].

Passo 16

Encontrando o inverso. A relação y[n]=r^{n}x[n] pode ser resolvida isolando x[n]:
x[n]=r^{-n}y[n].
Portanto a operação inversa é simplesmente multiplicar por r^{-n}. Definindo \mathcal{T}^{-1}\{y[n]\}=r^{-n}y[n], temos
\mathcal{T}^{-1}\{\mathcal{T}\{x[n]\}\} = r^{-n}\bigl(r^{n}x[n]\bigr)=x[n].
Assim o sistema é invertível e o inverso explícito é \mathcal{T}^{-1}\{y[n]\}=r^{-n}y[n].

Passo 17

Observações finais e intuições rápidas:
  • Mesmo sendo invertível, o sistema e/ou seu inverso podem ou não ser estáveis; aqui tanto \mathcal{T} quanto \mathcal{T}^{-1} têm fatores dependentes de n que podem causar crescimento/exponencial decrescente dependendo do sinal de n. Em particular, \mathcal{T} é instável porque o fator r^{n} cresce para +\infty quando n\to+\infty.
  • A presença de um ganho dependente do tempo ( r^{n}) é a razão principal por que o sistema é time-varying e instável, mesmo sendo linear e memoryless.

Resposta

Linear: sim.
Invariante no tempo: não (time-varying).
Sem memória (memoryless): sim.
Causal: sim.
BIBO estável: não (instável).
Invertível: sim; inverso \mathcal{T}^{-1}\{y[n]\}=r^{-n}y[n].

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