Exemplo 20 - Mostre que o sistema de tempo contínuo definido por
é invariante no tempo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o sistema de tempo contínuo definido por
é invariante no tempo.
Informações dadas: a relação entre entrada e saída é pontual em cada instante , isto é, para cada
a saída é o seno do valor da entrada naquele mesmo
. A tarefa é provar a propriedade de invariância ao deslocamento temporal (time-invariance) para esse sistema.
Informações dadas: a relação entre entrada e saída é pontual em cada instante
Passo 2
Definição operacional de invariância no tempo (explicada devagar): seja
o operador que leva uma entrada
para a saída
. Dizemos que
é invariante no tempo se, para qualquer entrada
e qualquer deslocamento fixo
, valer
Aqui:
-
é a entrada deslocada no tempo (atrás ou à frente dependendo do sinal de ); -
é a saída produzida pelo sistema quando a entrada é ; -
é a saída original deslocada no tempo.
Intuição: se eu atrasar ou adiantar a entrada, a saída tem que atrasar/adiantar exatamente do mesmo jeito — nada no sistema pode depender do instante absoluto.
Passo 3
Vamos aplicar a definição ao sistema dado. Primeiro definimos a entrada deslocada
Agora calculamos a saída que o sistema produz para essa entrada deslocada, isto é
. Pelo enunciado, o sistema aplica o seno ao valor da entrada no mesmo instante
, então
Passo 4
Substituímos a expressão de
dentro do seno:
Esse é o resultado da resposta do sistema quando a entrada foi a função deslocada
.
Passo 5
Agora escrevemos a saída original deslocada no tempo: como
, temos
Compare com o resultado do Passo 4: ambos são a mesma expressão
. Portanto
para qualquer entrada
e qualquer deslocamento
.
Passo 6
Conclusão formal: como a igualdade do Passo 5 vale para todo
e todo
, o sistema
é invariante no tempo. Observação didática: a não linearidade do seno não importa para a invariância temporal aqui, porque o seno atua ponto a ponto sem envolver explicitamente o tempo
. O que quebraria a invariância seria um termo que depende de
explicitamente (por exemplo, multiplicar por
).
Passo 7
Exemplo rápido para fixar (contraste): o sistema
NÃO é invariante no tempo, porque
(em geral a diferença é o fator
). Isso mostra claramente a diferença entre operar ponto a ponto sem dependência explícita de
(como o seno) e operar com dependência explícita de
.
Resposta
O sistema é invariante no tempo.