Exemplo 20 - Mostre que o sistema de tempo contínuo definido por y(t)=\operatorname{sen}[x(t)] é invariante no tempo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o sistema de tempo contínuo definido por y(t)=\operatorname{sen}[x(t)] é invariante no tempo.
Informações dadas: a relação entre entrada e saída é pontual em cada instante t, isto é, para cada t a saída é o seno do valor da entrada naquele mesmo t. A tarefa é provar a propriedade de invariância ao deslocamento temporal (time-invariance) para esse sistema.

Passo 2

Definição operacional de invariância no tempo (explicada devagar): seja H o operador que leva uma entrada x(t) para a saída y(t). Dizemos que H é invariante no tempo se, para qualquer entrada x(t) e qualquer deslocamento fixo \tau, valer
H\{x(t-\tau)\} = y(t-\tau).
Aqui:
  • x(t-\tau) é a entrada deslocada no tempo (atrás ou à frente dependendo do sinal de \tau);
  • H\{x(t-\tau)\} é a saída produzida pelo sistema quando a entrada é x(t-\tau);
  • y(t-\tau) é a saída original y(t) deslocada no tempo.
    Intuição: se eu atrasar ou adiantar a entrada, a saída tem que atrasar/adiantar exatamente do mesmo jeito — nada no sistema pode depender do instante absoluto t.

Passo 3

Vamos aplicar a definição ao sistema dado. Primeiro definimos a entrada deslocada
x_\tau(t)\equiv x(t-\tau).
Agora calculamos a saída que o sistema produz para essa entrada deslocada, isto é H\{x_\tau(t)\}. Pelo enunciado, o sistema aplica o seno ao valor da entrada no mesmo instante t, então
H\{x_\tau(t)\} = \operatorname{sen}\bigl[x_\tau(t)\bigr].

Passo 4

Substituímos a expressão de x_\tau(t) dentro do seno:
H\{x_\tau(t)\} = \operatorname{sen}\bigl[x(t-\tau)\bigr].
Esse é o resultado da resposta do sistema quando a entrada foi a função deslocada x(t-\tau).

Passo 5

Agora escrevemos a saída original deslocada no tempo: como y(t)=\operatorname{sen}[x(t)], temos
y(t-\tau)=\operatorname{sen}\bigl[x(t-\tau)\bigr].
Compare com o resultado do Passo 4: ambos são a mesma expressão \operatorname{sen}\bigl[x(t-\tau)\bigr]. Portanto
H\{x(t-\tau)\} = y(t-\tau)
para qualquer entrada x(t) e qualquer deslocamento \tau.

Passo 6

Conclusão formal: como a igualdade do Passo 5 vale para todo x(t) e todo \tau, o sistema y(t)=\operatorname{sen}[x(t)] é invariante no tempo. Observação didática: a não linearidade do seno não importa para a invariância temporal aqui, porque o seno atua ponto a ponto sem envolver explicitamente o tempo t. O que quebraria a invariância seria um termo que depende de t explicitamente (por exemplo, multiplicar por t).

Passo 7

Exemplo rápido para fixar (contraste): o sistema y(t)=t\cdot x(t) NÃO é invariante no tempo, porque
H\{x(t-\tau)\}=t\cdot x(t-\tau)\neq (t-\tau)\cdot x(t-\tau)=y(t-\tau)
(em geral a diferença é o fator \tau). Isso mostra claramente a diferença entre operar ponto a ponto sem dependência explícita de t (como o seno) e operar com dependência explícita de t.

Resposta

O sistema é invariante no tempo.

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