Os sistemas representados pelas relações de saída e entrada abaixo são lineares?
y(t)=t x(t)

Passo 1

O enunciado pergunta se o sistema definido pela relação de entrada e saída abaixo é linear:
y(t)=t\,x(t)
Informações dadas:
  • A variável de tempo é \,t.
  • A entrada é a função \,x(t).
  • A saída é a função \,y(t) dada por \,y(t)=t\,x(t).
  • A pergunta é única: “o sistema é linear?” (responda sim ou não e justifique).

Passo 2

Definição de linearidade (explicação didática):
  • Um sistema representado por um operador L é linear se, para quaisquer sinais de entrada \,x_1(t) e \,x_2(t) e quaisquer escalares (constantes) \,a e \,b, valer a propriedade de superposição:
L\{a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\}=a\,L\{x_1(t)\}+b\,L\{x_2(t)\}.
  • Aqui: L\{\cdot\} significa “aplicar o sistema à função dentro das chaves”. Os escalares \,a e \,b podem ser números reais (ou complexos, dependendo do contexto).
  • A propriedade acima engloba duas propriedades menores: homogeneidade (escalares podem sair) e aditividade (soma de entradas vira soma das saídas). Se ambas valem, o sistema é linear.

Passo 3

Identificar o operador L correspondente ao sistema dado:
L\{x(t)\}=t\,x(t).
Agora aplicamos a definição de linearidade passo a passo. Pegamos dois sinais quaisquer \,x_1(t) e \,x_2(t) e dois escalares \,a e \,b, e calculamos o lado esquerdo da propriedade de superposição:
L\{a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\}=t\bigl(a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\bigr).
Desenvolvendo a multiplicação por t (distributividade):
t\bigl(a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\bigr)=a\,t\,x_1(t)+b\,t\,x_2(t).
Reescrevendo cada termo como a aplicação do operador L sobre \,x_1 e \,x_2:
a\,t\,x_1(t)+b\,t\,x_2(t)=a\,L\{x_1(t)\}+b\,L\{x_2(t)\}.
Portanto obtemos exatamente a igualdade exigida:
L\{a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\}=a\,L\{x_1(t)\}+b\,L\{x_2(t)\}.
Como isso vale para quaisquer \,x_1, x_2, a, b, o sistema satisfaz a propriedade de superposição e, logo, é linear.

Passo 4

Exemplo numérico para fixar (bem concreto):
  • Escolho \,a=2, \,b=3, \,x_1(t)=1 e \,x_2(t)=t.
  • Calculo a entrada combinada: a\,x_1(t)+b\,x_2(t)=2\cdot1+3\cdot t=2+3t.
  • Aplico L: L\{2+3t\}=t(2+3t)=2t+3t^2.
  • Agora calculo a\,L\{x_1\}+b\,L\{x_2\}=2\cdot(t\cdot1)+3\cdot(t\cdot t)=2t+3t^2.
  • Os resultados coincidem, ilustrando que a propriedade funciona em um caso concreto — e a conta acima mostrou a identidade algébrica geral.

Passo 5

Comentário adicional útil para prova (não pedido, mas importante para você entender a diferença entre conceitos):
  • Embora o sistema seja linear, ele não é invariante no tempo. Para ver isso, compare:
L\{x(t-t_0)\}=t\,x(t-t_0)
com
\bigl(L\{x\}\bigr)(t-t_0)=(t-t_0)\,x(t-t_0).
Essas duas expressões não coincidem em geral (o fator multiplicativo é diferente), portanto o sistema falha na propriedade de invariância temporal. Isso é só para você não confundir “linear” com “linear e invariante no tempo (LTI)”.

Resposta

Sim — o sistema é linear.

Exercícios relacionados