Exemplo 22-Considere um sistema com relação entrada-saída y(t)=x(t) \cos \omega t. Determine se ele é
causal

Passo 1

Enunciado: o sistema de entrada-saída é dado por y(t)=x(t)\cos(\omega t). A pergunta do exercício é: determinar se esse sistema é causal.
Informações fornecidas:
  • A entrada é uma função arbitrária x(t).
  • A saída é y(t)=x(t)\cos(\omega t).
  • \omega é uma constante (frequência) e \cos(\omega t) é uma função conhecida do tempo.
  • Não há imagens ou dados adicionais.

Passo 2

Definição de causalidade (explicação didática):
  • Um sistema é causal se, para qualquer instante t_0, a saída do sistema em t_0 depende apenas dos valores da entrada em instantes \tau que satisfazem \tau \le t_0 (isto é, depende do presente e do passado, mas não do futuro).
  • Uma forma formal equivalente e muito útil em provas: sejam duas entradas x_1(t) e x_2(t). Se
x_1(\tau)=x_2(\tau)\quad\text{para todo }\tau\le t_0,
então as respectivas saídas y_1(t) e y_2(t) devem satisfazer
y_1(t_0)=y_2(t_0).
  • Intuição prática: se eu só conheço a entrada até t_0, eu consigo calcular a saída em t_0 sem precisar saber o que vai acontecer depois.

Passo 3

Aplicando a definição ao sistema dado (prova direta):
  • Escrevo as saídas correspondentes a duas entradas quaisquer x_1 e x_2:
y_1(t)=x_1(t)\cos(\omega t),\qquad y_2(t)=x_2(t)\cos(\omega t).
  • Suponha que x_1(\tau)=x_2(\tau) para todo \tau\le t_0. Em particular, isso vale para \tau=t_0, então
x_1(t_0)=x_2(t_0).
  • Avaliando as saídas em t_0 obtemos
y_1(t_0)=x_1(t_0)\cos(\omega t_0),
y_2(t_0)=x_2(t_0)\cos(\omega t_0).
  • Usando x_1(t_0)=x_2(t_0) concluímos que
y_1(t_0)=y_2(t_0).

Passo 4

Interpretação alternativa (didática, para a prova):
  • O operador que leva x(t) a y(t) é um multiplicador instantâneo: em cada instante t a saída é simplesmente o valor atual x(t) multiplicado por um fator conhecido \cos(\omega t).
  • Um multiplicador por uma função conhecida do tempo a(t), com y(t)=a(t)x(t), não usa valores futuros de x; usa só x(t). Logo esse tipo de operação é imediatamente compatível com causalidade.
  • Exemplos para consolidar a intuição:
    • y(t)=x(t+1) é não causal (usa valor futuro de x para produzir y(t)).
    • y(t)=\int_{-\infty}^{t} x(\tau)\,d\tau é causal (usa só passado e presente).
    • y(t)=x(t)\cos(\omega t) é do tipo multiplicador instantâneo e, portanto, não precisa do futuro de x.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (como reconhecer causalidade sem cálculo longo):
  • Se a expressão de y(t) envolve x avaliada em instantes \le t (por exemplo x(t), x(t-\tau), integrais até t), é causal.
  • Se aparecer x avaliada em instantes >t (por exemplo x(t+\tau) com \tau>0), é não causal.
  • Multiplicação por uma função conhecida do tempo (como \cos(\omega t)) é uma operação instantânea — verificar apenas se o argumento de x é t ou algo que depende de futuro.

Resposta

Sim. O sistema é causal.

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