Exemplo 22-Considere um sistema com relação entrada-saída
. Determine se ele é
causal
causal
Passo 1
Enunciado: o sistema de entrada-saída é dado por
. A pergunta do exercício é: determinar se esse sistema é causal.
Informações fornecidas:
- A entrada é uma função arbitrária
. - A saída é
. -
é uma constante (frequência) e é uma função conhecida do tempo. - Não há imagens ou dados adicionais.
Passo 2
Definição de causalidade (explicação didática):
- Um sistema é causal se, para qualquer instante
, a saída do sistema em depende apenas dos valores da entrada em instantes que satisfazem (isto é, depende do presente e do passado, mas não do futuro). - Uma forma formal equivalente e muito útil em provas: sejam duas entradas
e . Se
então as respectivas saídas
e
devem satisfazer
- Intuição prática: se eu só conheço a entrada até
, eu consigo calcular a saída em sem precisar saber o que vai acontecer depois.
Passo 3
Aplicando a definição ao sistema dado (prova direta):
- Escrevo as saídas correspondentes a duas entradas quaisquer
e :
- Suponha que
para todo . Em particular, isso vale para , então
- Avaliando as saídas em
obtemos
- Usando
concluímos que
Passo 4
Interpretação alternativa (didática, para a prova):
- O operador que leva
a é um multiplicador instantâneo: em cada instante a saída é simplesmente o valor atual multiplicado por um fator conhecido . - Um multiplicador por uma função conhecida do tempo
, com , não usa valores futuros de ; usa só . Logo esse tipo de operação é imediatamente compatível com causalidade. - Exemplos para consolidar a intuição:
-
é não causal (usa valor futuro de para produzir ). -
é causal (usa só passado e presente). -
é do tipo multiplicador instantâneo e, portanto, não precisa do futuro de .
-
Passo 5
Dicas rápidas para a prova (como reconhecer causalidade sem cálculo longo):
- Se a expressão de
envolve avaliada em instantes (por exemplo , , integrais até ), é causal. - Se aparecer
avaliada em instantes (por exemplo com ), é não causal. - Multiplicação por uma função conhecida do tempo (como
) é uma operação instantânea — verificar apenas se o argumento de é ou algo que depende de futuro.
Resposta
Sim. O sistema é causal.