Exemplo 22-Considere um sistema com relação entrada-saída
. Determine se ele é
sem memória
sem memória
Passo 1
O enunciado dá um sistema com relação entrada-saída
e pede para determinar se o sistema é sem memória.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão do sistema é
. -
é um parâmetro (frequência) e é uma função conhecida do tempo.
Pergunta explícita: o sistema é sem memória (ou seja, memoryless)?
Passo 2
Definição precisa de “sem memória” (memoryless): um sistema é sem memória se, para qualquer instante
, o valor da saída naquele instante depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante. Formalmente, se para quaisquer duas entradas
e
vale
então o sistema é sem memória.
Explicação simples: não pode haver dependência de valores passados ou futuros de ; só pode usar
avaliado em
.
Explicação simples: não pode haver dependência de valores passados ou futuros de
Passo 3
Aplique a definição ao sistema dado. Tome duas entradas quaisquer
e
tais que
para algum instante fixo
. As respectivas saídas no instante
são
e
Como
, substituindo obtemos
Portanto, sempre que as entradas coincidem em
as saídas também coincidem naquele instante.
Passo 4
Conclusão formal: pelo critério da definição, o sistema satisfaz a propriedade required para ser sem memória, pois
no instante
usa apenas
(e uma função conhecida de
,
), sem depender de
em instantes diferentes de
.
Passo 5
Intuição e observações úteis para a prova:
- Intuitivamente, multiplicar
por uma função conhecida do tempo não introduz memória, porque não aparece com nem integrações/somas sobre tempo. - Exemplos para contraste:
ou são sem memória; já ou têm memória. - Observação extra (útil em provas): embora seja sem memória, o sistema
é, em geral, dependente do tempo (time-varying), porque o fator muda com . Para ver isso rapidamente, se deslocarmos a entrada no tempo por teremos , que em geral não é igual a .
Resposta
Sim — o sistema
é sem memória.