Exemplo 22-Considere um sistema com relação entrada-saída y(t)=x(t) \cos \omega t. Determine se ele é
sem memória

Passo 1

O enunciado dá um sistema com relação entrada-saída y(t)=x(t)\cos\omega t e pede para determinar se o sistema é sem memória.
Informações dadas:
  • A expressão do sistema é y(t)=x(t)\cos\omega t.
  • \omega é um parâmetro (frequência) e \cos\omega t é uma função conhecida do tempo.
    Pergunta explícita: o sistema é sem memória (ou seja, memoryless)?

Passo 2

Definição precisa de “sem memória” (memoryless): um sistema é sem memória se, para qualquer instante t_0, o valor da saída naquele instante depende apenas do valor da entrada naquele mesmo instante. Formalmente, se para quaisquer duas entradas x_1(t) e x_2(t) vale
x_1(t_0)=x_2(t_0) \quad\Rightarrow\quad y_1(t_0)=y_2(t_0),
então o sistema é sem memória.
Explicação simples: não pode haver dependência de valores passados ou futuros de x; só pode usar x avaliado em t_0.

Passo 3

Aplique a definição ao sistema dado. Tome duas entradas quaisquer x_1(t) e x_2(t) tais que
x_1(t_0)=x_2(t_0)
para algum instante fixo t_0. As respectivas saídas no instante t_0 são
y_1(t_0)=x_1(t_0)\cos(\omega t_0)
e
y_2(t_0)=x_2(t_0)\cos(\omega t_0).
Como x_1(t_0)=x_2(t_0), substituindo obtemos
y_1(t_0)=x_1(t_0)\cos(\omega t_0)=x_2(t_0)\cos(\omega t_0)=y_2(t_0).
Portanto, sempre que as entradas coincidem em t_0 as saídas também coincidem naquele instante.

Passo 4

Conclusão formal: pelo critério da definição, o sistema satisfaz a propriedade required para ser sem memória, pois y(t) no instante t usa apenas x(t) (e uma função conhecida de t, \cos\omega t), sem depender de x em instantes diferentes de t.

Passo 5

Intuição e observações úteis para a prova:
  • Intuitivamente, multiplicar x(t) por uma função conhecida do tempo \cos\omega t não introduz memória, porque não aparece x(t-\tau) com \tau\neq0 nem integrações/somas sobre tempo.
  • Exemplos para contraste: y(t)=x(t) ou y(t)=3x(t) são sem memória; já y(t)=x(t-1) ou y(t)=\int_{-\infty}^t x(\tau)\,d\tau têm memória.
  • Observação extra (útil em provas): embora seja sem memória, o sistema y(t)=x(t)\cos\omega t é, em geral, dependente do tempo (time-varying), porque o fator \cos\omega t muda com t. Para ver isso rapidamente, se deslocarmos a entrada no tempo por t_1 teremos x(t-t_1)\cos\omega t, que em geral não é igual a y(t-t_1)=x(t-t_1)\cos\omega(t-t_1).

Resposta

Sim — o sistema y(t)=x(t)\cos\omega t é sem memória.

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