Exemplo 22-Considere um sistema com relação entrada-saída y(t)=x(t) \cos \omega t. Determine se ele é
linear

Passo 1

O enunciado dá a relação entrada-saída y(t)=x(t)\cos\omega t e pede para determinar se o sistema é linear.
Informações dadas que vamos usar: a entrada é a função x(t), a saída é y(t), e \omega é uma constante (frequência) que multiplica no fator \cos\omega t.
O que se pergunta: “o sistema que transforma x(t) em y(t)=x(t)\cos\omega t satisfaz a propriedade de linearidade?” (ou seja, responde à superposição/linearidade para qualquer sinais e escalares).

Passo 2

O que significa um sistema ser linear? Vou te explicar passo a passo, sem pressa. Um sistema S é linear se, para quaisquer sinais de entrada x_1(t) e x_2(t) e quaisquer escalares (constantes) a e b, vale:
S\big[a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\big] = a\,S\big[x_1(t)\big] + b\,S\big[x_2(t)\big].
Essa é a propriedade de superposição, que contém duas ideias: homogeneidade (multiplicar a entrada por uma constante multiplica a saída pela mesma constante) e aditividade (a saída para soma de entradas é a soma das saídas). Para checar linearidade, vamos aplicar essa definição ao sistema dado.

Passo 3

Pegue duas entradas arbitrárias x_1(t) e x_2(t) e escalares a e b. Considere a entrada combinada
x(t) = a\,x_1(t) + b\,x_2(t).
Agora calcule a saída do sistema para essa entrada, usando a regra y(t)=x(t)\cos\omega t. Em bloco:
y(t) = \big(a\,x_1(t)+b\,x_2(t)\big)\cos\omega t.

Passo 4

Desenvolvendo a expressão do passo anterior usando a distributividade da multiplicação em relação à soma (isso é algo que você já viu: (u+v)w = uw + vw), obtemos:
y(t) = a\,x_1(t)\cos\omega t + b\,x_2(t)\cos\omega t.
Agora observe que, por definição do sistema, as saídas associadas às entradas x_1 e x_2 são
y_1(t) = x_1(t)\cos\omega t,\qquad y_2(t) = x_2(t)\cos\omega t.
Portanto a expressão anterior pode ser escrita como
y(t) = a\,y_1(t) + b\,y_2(t).

Passo 5

Conclusão do argumento: mostramos que, para quaisquer x_1,x_2 e quaisquer constantes a,b,
S\big[a\,x_1+b\,x_2\big] = a\,S[x_1] + b\,S[x_2].
Ou seja, a propriedade de superposição é satisfeita. Assim o sistema é linear. Só um comentário extra de atenção: isso pressupõe que \omega é uma constante fixa, independente da entrada. Se \omega dependesse de x(t), o raciocínio cairia — mas o enunciado dá \cos\omega t com \omega como parâmetro do sistema.

Passo 6

Pra fixar a ideia na prática, um mini-exemplo numérico (só para você ver que bate): tome x_1(t)=\sin t, x_2(t)=\cos t, a=2, b=3. Então a saída para a combinação é
(2\sin t + 3\cos t)\cos\omega t = 2(\sin t\cos\omega t) + 3(\cos t\cos\omega t),
que é exatamente 2y_1(t)+3y_2(t). Beleza — funciona para qualquer escolha, não só esse exemplo.

Resposta

O sistema é linear.

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