Exemplo 22-Considere um sistema com relação entrada-saída
. Determine se ele é
linear
linear
Passo 1
O enunciado dá a relação entrada-saída
e pede para determinar se o sistema é linear.
Informações dadas que vamos usar: a entrada é a função , a saída é
, e
é uma constante (frequência) que multiplica no fator
.
O que se pergunta: “o sistema que transforma em
satisfaz a propriedade de linearidade?” (ou seja, responde à superposição/linearidade para qualquer sinais e escalares).
Informações dadas que vamos usar: a entrada é a função
O que se pergunta: “o sistema que transforma
Passo 2
O que significa um sistema ser linear? Vou te explicar passo a passo, sem pressa. Um sistema
é linear se, para quaisquer sinais de entrada
e
e quaisquer escalares (constantes)
e
, vale:
Essa é a propriedade de superposição, que contém duas ideias: homogeneidade (multiplicar a entrada por uma constante multiplica a saída pela mesma constante) e aditividade (a saída para soma de entradas é a soma das saídas). Para checar linearidade, vamos aplicar essa definição ao sistema dado.
Passo 3
Pegue duas entradas arbitrárias
e
e escalares
e
. Considere a entrada combinada
Agora calcule a saída do sistema para essa entrada, usando a regra
. Em bloco:
Passo 4
Desenvolvendo a expressão do passo anterior usando a distributividade da multiplicação em relação à soma (isso é algo que você já viu:
), obtemos:
Agora observe que, por definição do sistema, as saídas associadas às entradas
e
são
Portanto a expressão anterior pode ser escrita como
Passo 5
Conclusão do argumento: mostramos que, para quaisquer
e quaisquer constantes
,
Ou seja, a propriedade de superposição é satisfeita. Assim o sistema é linear. Só um comentário extra de atenção: isso pressupõe que
é uma constante fixa, independente da entrada. Se
dependesse de
, o raciocínio cairia — mas o enunciado dá
com
como parâmetro do sistema.
Passo 6
Pra fixar a ideia na prática, um mini-exemplo numérico (só para você ver que bate): tome
,
,
,
. Então a saída para a combinação é
que é exatamente
. Beleza — funciona para qualquer escolha, não só esse exemplo.
Resposta
O sistema é linear.