Exemplo 22-Considere um sistema com relação entrada-saída y(t)=x(t) \cos \omega t. Determine se ele é
invariante no tempo

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos: o sistema é definido pela relação entrada–saída
y(t)=x(t)\cos\omega t.
A pergunta do enunciado é: o sistema é invariante no tempo? (ou seja, a propriedade de invariança no tempo deve valer para qualquer entrada x(t) e para qualquer deslocamento temporal t_0).

Passo 2

Definição de invariança no tempo (explicada passo a passo): um sistema T é invariante no tempo se, para toda entrada x(t) e para qualquer deslocamento temporal t_0, a saída produzida pela entrada deslocada x(t-t_0) é exatamente a saída original deslocada no tempo. Em símbolos:
T\{x(t-t_0)\} \stackrel{?}{=} y(t-t_0),
onde \;y(t)=T\{x(t)\}. Aqui:
  • T\{\cdot\} representa o sistema que transforma uma entrada em saída;
  • x(t-t_0) é a entrada original deslocada no tempo por t_0;
  • y(t-t_0) é a saída original y(t) deslocada no tempo por t_0.
    Se a igualdade acima for verdadeira para todo x e todo t_0, o sistema é invariante no tempo; caso contrário, é variante.

Passo 3

Calcule a saída do sistema quando a entrada é a entrada deslocada x(t-t_0). Aplicando a lei do sistema:
T\{x(t-t_0)\} = x(t-t_0)\cos\omega t.
Note que o fator \cos\omega t permanece com argumento \omega t porque, na expressão do sistema, a multiplicação pelo cosseno depende do tempo absoluto t.

Passo 4

Calcule agora a saída original deslocada no tempo, isto é, y(t-t_0). Como a saída original é y(t)=x(t)\cos\omega t, temos
y(t-t_0)=x(t-t_0)\cos\big(\omega (t-t_0)\big)=x(t-t_0)\cos(\omega t-\omega t_0).

Passo 5

Compare as duas expressões encontradas. Para invariança no tempo precisaríamos de
x(t-t_0)\cos\omega t \overset{?}{=} x(t-t_0)\cos(\omega t-\omega t_0)
para todo x, todo t e todo t_0. Isso exige que, independentemente de x, se tenha
\cos\omega t = \cos(\omega t-\omega t_0)\quad\text{para todo }t,
o que não é verdade em geral — essa igualdade só ocorre para valores especiais de t_0 (por exemplo, quando \omega t_0 é múltiplo de 2\pi), mas não para todo t_0.

Passo 6

Contraexemplo explícito (forma direta de demonstrar que o sistema não é invariante): escolha a entrada constante x(t)=1 para todo t. Então:
  • resposta ao deslocamento da entrada:
T\{x(t-t_0)\}=1\cdot\cos\omega t=\cos\omega t;
  • resposta deslocada:
y(t-t_0)=\cos(\omega t-\omega t_0).
Escolha, por exemplo, t_0=\dfrac{\pi}{\omega}. Então \omega t_0=\pi e
y(t-t_0)=\cos(\omega t-\pi)=-\cos\omega t,
que difere de \cos\omega t salvo nos instantes em que \cos\omega t=0. Portanto T\{x(t-t_0)\}\neq y(t-t_0) para essa escolha de x e t_0, o que basta para concluir que o sistema não é invariante no tempo.

Passo 7

Interpretação intuitiva e conclusão didática: o fator \cos\omega t introduz uma dependência explícita do tempo absoluto na lei do sistema. Sempre que a equação do sistema contém termos que dependem de t de forma não apenas via a entrada x(t), o sistema tende a ser variante no tempo, pois o “módulo” aplicado à entrada muda se você deslocar no tempo. Aqui esse é exatamente o caso: multiplicar por \cos\omega t altera o resultado se repetirmos a entrada deslocada, salvo em casos degenera- dos (deslocamentos específicos), portanto o sistema é variante no tempo.

Resposta

O sistema não é invariante no tempo.

Exercícios relacionados