Exemplo 22-Considere um sistema com relação entrada-saída
. Determine se ele é
estável
estável
Passo 1
Enunciado e informações dadas:\n
- O sistema de entrada-saída é dado por
\n - A pergunta é: o sistema é estável? (Entenda aqui que a pergunta pede se o sistema é estável no sentido BIBO — ou seja, se um sinal de entrada limitado gera sempre uma saída limitada.)\n
- Informação implícita:
é uma constante real (frequência) e é a função multiplicadora temporal conhecida.\n
Passo 2
Definição de estabilidade BIBO (que vamos usar):\n
Um sistema é BIBO-estável se, para todo sinal de entrada limitado — isto é, se existe uma constante
tal que
para todo
— então a saída
também é limitada: existe uma constante
tal que
para todo
.\n
Vou explicar cada parte: \n
Um sistema é BIBO-estável se, para todo sinal de entrada
Vou explicar cada parte: \n
-
significa o valor absoluto (magnitude) do sinal de entrada em cada instante .\n - Dizer
para todo é dizer que a entrada está limitada por uniformemente no tempo (não cresce indefinidamente).\n - Nosso objetivo é mostrar que, sob essa hipótese, conseguimos encontrar alguma constante
que limita .\n
Passo 3
Expressar a magnitude da saída e usar propriedades de valor absoluto:\n
Começamos calculando o valor absoluto de :
Começamos calculando o valor absoluto de
Usamos a propriedade básica do valor absoluto que diz que o módulo de um produto é o produto dos módulos, ou seja:
Essa propriedade vale para qualquer dois números (ou funções) multiplicados:
.\n
Passo 4
Usar que
é limitado por
:\n
Sabemos (propriedade trigonométrica básica) que para todo ,
Sabemos (propriedade trigonométrica básica) que para todo
Portanto, combinando com o passo anterior:
Ou seja, em cada instante
a magnitude da saída é, no máximo, a magnitude da entrada naquele instante.\n
Passo 5
Concluir a BIBO-estabilidade a partir da hipótese de entrada limitada:\n
Assuma que a entrada é limitada: existe tal que para todo
temos
.\n
Então, pela desigualdade do passo anterior, para todo :
Assuma que a entrada é limitada: existe
Então, pela desigualdade do passo anterior, para todo
Logo basta tomar
para garantir que
para todo
.\n
Portanto, sempre que a entrada for limitada, a saída também será limitada — isso é exatamente a definição de BIBO-estabilidade. Concluímos que o sistema é BIBO-estável.\n
Portanto, sempre que a entrada for limitada, a saída também será limitada — isso é exatamente a definição de BIBO-estabilidade. Concluímos que o sistema é BIBO-estável.\n
Passo 6
Comentário didático e intuição extra (para ajudar na prova):\n
- Intuição: o sistema apenas escala o sinal
multiplicando-o por . Como nunca tem magnitude maior que , ele não pode “amplificar” para torná-lo ilimitado — no máximo deixa do mesmo tamanho ou diminui.\n - Exemplo concreto: se
então . Se (que é limitada por ), então é limitada por .\n
Passo 7
Observação adicional (opcional, mais formal):\n
O operador que manda em
com
é um operador de multiplicação por uma função limitada. O “ganho” (norma suprema) de
é
O operador que manda
portanto o operador é linear e limitado com norma
, o que implica BIBO-estabilidade. (Não é necessário para a prova, mas é uma forma elegante de ver o resultado.)\n
Resposta
Sim. O sistema é BIBO-estável (a saída é limitada sempre que a entrada for limitada).