Exemplo 22-Considere um sistema com relação entrada-saída y(t)=x(t) \cos \omega t. Determine se ele é
estável

Passo 1

Enunciado e informações dadas:\n
  • O sistema de entrada-saída é dado por y(t)=x(t)\cos\omega t.\n
  • A pergunta é: o sistema é estável? (Entenda aqui que a pergunta pede se o sistema é estável no sentido BIBO — ou seja, se um sinal de entrada limitado gera sempre uma saída limitada.)\n
  • Informação implícita: \omega é uma constante real (frequência) e \cos\omega t é a função multiplicadora temporal conhecida.\n

Passo 2

Definição de estabilidade BIBO (que vamos usar):\n
Um sistema é BIBO-estável se, para todo sinal de entrada x(t) limitado — isto é, se existe uma constante M_x tal que |x(t)| \le M_x para todo t — então a saída y(t) também é limitada: existe uma constante M_y tal que |y(t)| \le M_y para todo t.\n
Vou explicar cada parte: \n
  • |x(t)| significa o valor absoluto (magnitude) do sinal de entrada em cada instante t.\n
  • Dizer |x(t)| \le M_x para todo t é dizer que a entrada está limitada por M_x uniformemente no tempo (não cresce indefinidamente).\n
  • Nosso objetivo é mostrar que, sob essa hipótese, conseguimos encontrar alguma constante M_y que limita |y(t)|.\n

Passo 3

Expressar a magnitude da saída e usar propriedades de valor absoluto:\n
Começamos calculando o valor absoluto de y(t):
|y(t)| = |x(t)\cos\omega t|.
Usamos a propriedade básica do valor absoluto que diz que o módulo de um produto é o produto dos módulos, ou seja:
|x(t)\cos\omega t| = |x(t)|\;|\cos\omega t|.
Essa propriedade vale para qualquer dois números (ou funções) multiplicados: |ab|=|a||b|.\n

Passo 4

Usar que \cos\omega t é limitado por 1:\n
Sabemos (propriedade trigonométrica básica) que para todo t,
|\cos\omega t|\le 1.
Portanto, combinando com o passo anterior:
|y(t)| = |x(t)|\;|\cos\omega t| \le |x(t)|\cdot 1 = |x(t)|.
Ou seja, em cada instante t a magnitude da saída é, no máximo, a magnitude da entrada naquele instante.\n

Passo 5

Concluir a BIBO-estabilidade a partir da hipótese de entrada limitada:\n
Assuma que a entrada é limitada: existe M_x tal que para todo t temos |x(t)|\le M_x.\n
Então, pela desigualdade do passo anterior, para todo t:
|y(t)| \le |x(t)| \le M_x.
Logo basta tomar M_y = M_x para garantir que |y(t)|\le M_y para todo t.\n
Portanto, sempre que a entrada for limitada, a saída também será limitada — isso é exatamente a definição de BIBO-estabilidade. Concluímos que o sistema é BIBO-estável.\n

Passo 6

Comentário didático e intuição extra (para ajudar na prova):\n
  • Intuição: o sistema apenas escala o sinal x(t) multiplicando-o por \cos\omega t. Como \cos\omega t nunca tem magnitude maior que 1, ele não pode “amplificar” x(t) para torná-lo ilimitado — no máximo deixa do mesmo tamanho ou diminui.\n
  • Exemplo concreto: se |x(t)|\le 2 então |y(t)|\le 2. Se x(t)=\sin t (que é limitada por 1), então y(t)=\sin t\cos\omega t é limitada por 1.\n

Passo 7

Observação adicional (opcional, mais formal):\n
O operador que manda x(t) em y(t)=m(t)x(t) com m(t)=\cos\omega t é um operador de multiplicação por uma função limitada. O “ganho” (norma suprema) de m(t) é
\|m\|_\infty = \sup_{t} |m(t)| = 1,
portanto o operador é linear e limitado com norma \le 1, o que implica BIBO-estabilidade. (Não é necessário para a prova, mas é uma forma elegante de ver o resultado.)\n

Resposta

Sim. O sistema é BIBO-estável (a saída é limitada sempre que a entrada for limitada).

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