Exemplo 22: Determine a matriz canônica de T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que T(x, y)=(2 x+y, x-y, x+4 y, 0).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{4} definida por
T(x,y) = (2x+y,\;x-y,\;x+4y,\;0).
O que a questão pede: determinar a matriz canônica (matriz de T em relação às bases canônicas) — ou seja, a matriz de T quando usamos a base padrão em \mathbb{R}^2 e a base padrão em \mathbb{R}^4.
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio: \mathbb{R}^2.
  • Contradomínio: \mathbb{R}^4.
  • Fórmula explícita para T(x,y), que dá as quatro coordenadas de T(x,y) em função de x e y.

Passo 2

Ideia-chave e por que funciona (explicação didática):
  • As bases canônicas são \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1) em \mathbb{R}^2, e em \mathbb{R}^4 a base canônica tem vetores \mathbf{e}_1',\mathbf{e}_2',\mathbf{e}_3',\mathbf{e}_4'.
  • Para uma transformação linear T, a matriz A que representa T nas bases canônicas é montada pegando como primeira coluna as coordenadas de T(\mathbf{e}_1) e como segunda coluna as coordenadas de T(\mathbf{e}_2). Isso porque multiplicar A pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} é a combinação linear x\,T(\mathbf{e}_1)+y\,T(\mathbf{e}_2), que por linearidade é exatamente T(x,y).
  • Resumindo a regra prática: calcular T nos vetores da base do domínio e colocar esses resultados como colunas da matriz.

Passo 3

Calcular T nos vetores da base canônica do domínio:
  • Para \mathbf{e}_1=(1,0):
T(1,0) = (2\cdot1+0,\;1-0,\;1+4\cdot0,\;0) = (2,\;1,\;1,\;0).
  • Para \mathbf{e}_2=(0,1):
T(0,1) = (2\cdot0+1,\;0-1,\;0+4\cdot1,\;0) = (1,\;-1,\;4,\;0).

Passo 4

Montar a matriz canônica A colocando T(1,0) como primeira coluna e T(0,1) como segunda coluna. Assim:
A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\[4pt] 1 & -1\\[4pt] 1 & 4\\[4pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida (para você poder usar na prova e se sentir seguro): multiplicar A pelo vetor \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} deve devolver T(x,y).
A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1\\[2pt] 1 & -1\\[2pt] 1 & 4\\[2pt] 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x+y\\[4pt] x-y\\[4pt] x+4y\\[4pt] 0 \end{pmatrix},
que coincide com a definição dada de T(x,y). Pronto — tá tudo conferido!]

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & -1\\\\ 1 & 4\\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}

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