Exemplo 22: Determine a matriz canônica de T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que T(x, y)=(2 x+y, x-y, x+4 y, 0).
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{4} definida por
T(x,y) = (2x+y,\;x-y,\;x+4y,\;0).
O que a questão pede: determinar a matriz canônica (matriz de T em relação às bases canônicas) — ou seja, a matriz de T quando usamos a base padrão em \mathbb{R}^2 e a base padrão em \mathbb{R}^4.
Informações relevantes fornecidas:
Domínio: \mathbb{R}^2.
Contradomínio: \mathbb{R}^4.
Fórmula explícita para T(x,y), que dá as quatro coordenadas de T(x,y) em função de x e y.
Passo 2
Ideia-chave e por que funciona (explicação didática):
As bases canônicas são \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1) em \mathbb{R}^2, e em \mathbb{R}^4 a base canônica tem vetores \mathbf{e}_1',\mathbf{e}_2',\mathbf{e}_3',\mathbf{e}_4'.
Para uma transformação linear T, a matriz A que representa T nas bases canônicas é montada pegando como primeira coluna as coordenadas de T(\mathbf{e}_1) e como segunda coluna as coordenadas de T(\mathbf{e}_2). Isso porque multiplicar A pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} é a combinação linear x\,T(\mathbf{e}_1)+y\,T(\mathbf{e}_2), que por linearidade é exatamente T(x,y).
Resumindo a regra prática: calcular T nos vetores da base do domínio e colocar esses resultados como colunas da matriz.
Passo 3
Calcular T nos vetores da base canônica do domínio: