Exemplo 23. Encontre uma equção nas coordenadas x, y que representa a cônica r= \frac{10}{2+3 \cos (\theta)} do exemplo anterior.

Passo 1

O enunciado dá a cônica em coordenadas polares
r = \frac{10}{2 + 3 \cos(\theta)}
e pede uma equação equivalente em coordenadas cartesianas x,y. Para isso vamos usar as relações básicas \;r = \sqrt{x^2+y^2}; e \;\cos(\theta)=\frac{x}{r}.

Passo 2

Substituindo \cos(\theta)=x/r na equação polar, obtemos
r\bigl(2 + 3\frac{x}{r}\bigr) = 10
que simplifica para
2r + 3x = 10.

Passo 3

Agora usamos r=\sqrt{x^2+y^2}. Isso dá
2\sqrt{x^2+y^2} + 3x = 10.

Passo 4

Isolamos a raiz e elevamos ao quadrado para eliminar o radical:
2\sqrt{x^2+y^2} = 10 - 3x
4\,(x^2+y^2) = (10 - 3x)^2.

Passo 5

Desenvolvendo e rearranjando termos:
4x^2 + 4y^2 = 100 - 60x + 9x^2
0 = 9x^2 - 4x^2 - 60x + 100 - 4y^2
0 = 5x^2 - 4y^2 - 60x + 100.
Essa é a forma cartesiana da cônica.

Resposta

A equação em x,y é
5x^2 - 4y^2 - 60x + 100 = 0.

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