Exemplo 22. Identifique a cônica de equação polar r=\frac{15}{4-4 \cos (\theta)} e trace seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a equação polar
r = \frac{15}{4 - 4\cos(\theta)},
e pede para identificar a cônica e esboçar seu gráfico. O conteúdo aqui é cônicas em coordenadas polares com foco na origem, usando a forma padrão
r = \frac{e\,d}{1 \pm e\cos(\theta)},
onde e é a excentricidade e d a distância da diretriz ao foco.

Passo 2

Começamos simplificando o denominador:
r = \frac{15}{4\bigl(1 - \cos(\theta)\bigr)} = \frac{15/4}{1 - \cos(\theta)}.
Isso já está na forma
r = \frac{e\,d}{1 - e\cos(\theta)}.

Passo 3

Comparando
\frac{e\,d}{1 - e\cos(\theta)} \quad\text{com}\quad \frac{15/4}{1 - \cos(\theta)},
vemos que e=1 e e\,d = 15/4. Logo
d = \frac{15}{4}.

Passo 4

Como \,e=1\,, a cônica é uma parábola. O foco está na origem e a diretriz, dada pelo sinal “–” no denominador, é
x = d = \frac{15}{4}.
Em parábolas a distância foco-diretriz vale 2p, onde p é a distância do foco ao vértice. Aqui 2p=d, então
p = \frac{d}{2} = \frac{15}{8}.
O vértice está a p unidades da origem, em direção oposta à diretriz, ou seja no ponto
\bigl(-\tfrac{15}{8},\,0\bigr),
e a parábola abre para a direita (eixo x).

Passo 5

Para esboçar, basta anotar alguns pontos:
Para \theta=\pi/2 temos
r = \frac{15/4}{1 - 0} = \frac{15}{4},
que em coordenadas cartesianas é \bigl(0,\tfrac{15}{4}\bigr). Para \theta=3\pi/2 sai \bigl(0,-\tfrac{15}{4}\bigr). Para \theta=2\pi/3 vem
\cos(2\pi/3) = -\tfrac12,\quad r = \frac{15/4}{1 + \tfrac12} = \frac{15/4}{3/2} = \frac{5}{2},
ponto esse a 120^\circ de raio 2{,}5. Ligando esses pontos e observando que para \theta\to0^\pm o denominador vai a zero (a curva vai ao infinito), obtemos o esboço de uma parábola de vértice em (-15/8,0), foco na origem e abertura à direita.

Resposta

A curva é uma parábola de excentricidade e=1, dada em forma polar por
r = \frac{\tfrac{15}{4}}{1 - \cos(\theta)},
com foco na origem, diretriz x=\tfrac{15}{4}, vértice em \bigl(-\tfrac{15}{8},0\bigr) e abertura voltada para a direita.

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