Exemplo 31. Determinar o vetor gradiente da função
no ponto
.
Solução.
. Portanto,
Solução.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. A pergunta é: determinar o vetor gradiente dessa função no ponto dado, ou seja, calcular
.
Informações relevantes: a função explícita em e
; o ponto onde devemos avaliar o gradiente.
Informações relevantes: a função explícita em
Passo 2
Definição importante (aqui a gente precisa entender o que é o gradiente). O vetor gradiente de uma função de duas variáveis
é o par formado pelas derivadas parciais em relação a
e a
:
Explicando o que é derivada parcial: para calcular
derivamos
em relação a
tratando
como constante; para
derivamos em relação a
tratando
como constante.
Passo 3
Regra de derivação que vamos usar (lembrete rápido): se temos uma potência
, então
. Também, multiplicar por uma constante sai da derivada:
. E para potências negativas vale a mesma regra (por exemplo
). Vamos aplicar isso ao termo que envolve
escrevendo
(aqui
é constante quando derivamos em relação a
).
Passo 4
Calcular
passo a passo.
A função é .
A função é
- Derivando o primeiro termo em relação a
: (aqui é constante). - Derivando o segundo termo em relação a
: .
Somando as duas contribuições:
Passo 5
Calcular
passo a passo.
A função é a mesma, e agora tratamos como constante.
A função é a mesma, e agora tratamos
- Derivando o primeiro termo em relação a
: . - Derivando o segundo termo em relação a
: .
Somando:
Passo 6
Agora avaliamos as derivadas parciais no ponto
.
Primeiro
:
Depois
:
Passo 7
Montamos o vetor gradiente no ponto juntando as componentes calculadas: