Exemplo 31. Determinar o vetor gradiente da função z=5 x^{2} y+\frac{y^{2}}{x} no ponto (1,-2).
Solução. \nabla z(x, y)=\left(z_{x}(x, y), z_{y}(x, y)\right)=\left(10 x y-\frac{y^{2}}{x^{2}}, 5 x^{2}+\frac{2 y}{x}\right). Portanto,
\nabla z(1,-2)=(-24,1)

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle z=5x^{2}y+\frac{y^{2}}{x} e o ponto \displaystyle (1,-2). A pergunta é: determinar o vetor gradiente dessa função no ponto dado, ou seja, calcular \nabla z(1,-2).
Informações relevantes: a função explícita em x e y; o ponto onde devemos avaliar o gradiente.

Passo 2

Definição importante (aqui a gente precisa entender o que é o gradiente). O vetor gradiente de uma função de duas variáveis z=z(x,y) é o par formado pelas derivadas parciais em relação a x e a y:
\nabla z(x,y)=\big(z_x(x,y),\;z_y(x,y)\big).
Explicando o que é derivada parcial: para calcular z_x derivamos z em relação a x tratando y como constante; para z_y derivamos em relação a y tratando x como constante.

Passo 3

Regra de derivação que vamos usar (lembrete rápido): se temos uma potência \displaystyle x^{n}, então \displaystyle \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Também, multiplicar por uma constante sai da derivada: \displaystyle \frac{d}{dx}(a\cdot f(x))=a\cdot f'(x). E para potências negativas vale a mesma regra (por exemplo \displaystyle \frac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2}). Vamos aplicar isso ao termo que envolve \displaystyle \frac{y^{2}}{x} escrevendo \displaystyle \frac{y^{2}}{x}=y^{2}x^{-1} (aqui y^{2} é constante quando derivamos em relação a x).

Passo 4

Calcular z_x(x,y) passo a passo.
A função é \displaystyle z=5x^{2}y + y^{2}x^{-1}.
  • Derivando o primeiro termo em relação a x: \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(5x^{2}y)=5y\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=5y\cdot 2x=10xy (aqui y é constante).
  • Derivando o segundo termo em relação a x: \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(y^{2}x^{-1})=y^{2}\cdot\frac{d}{dx}x^{-1}=y^{2}\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{y^{2}}{x^{2}}.
    Somando as duas contribuições:
z_x(x,y)=10xy-\frac{y^{2}}{x^{2}}.

Passo 5

Calcular z_y(x,y) passo a passo.
A função é a mesma, e agora tratamos x como constante.
  • Derivando o primeiro termo em relação a y: \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(5x^{2}y)=5x^{2}\cdot\frac{d}{dy}y=5x^{2}.
  • Derivando o segundo termo em relação a y: \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}x^{-1}\big)=x^{-1}\cdot\frac{d}{dy}y^{2}=x^{-1}\cdot 2y=\frac{2y}{x}.
    Somando:
z_y(x,y)=5x^{2}+\frac{2y}{x}.

Passo 6

Agora avaliamos as derivadas parciais no ponto \displaystyle (1,-2).
Primeiro z_x(1,-2):
z_x(1,-2)=10\cdot 1\cdot(-2)-\frac{(-2)^{2}}{1^{2}}=-20-\frac{4}{1}=-20-4=-24.
Depois z_y(1,-2):
z_y(1,-2)=5\cdot 1^{2}+\frac{2\cdot(-2)}{1}=5+\frac{-4}{1}=5-4=1.

Passo 7

Montamos o vetor gradiente no ponto juntando as componentes calculadas:
\nabla z(1,-2)=\big(z_x(1,-2),\;z_y(1,-2)\big)=(-24,\;1).

Resposta

(-24,1)

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