Exercício 7. Verifique se g(x, y)=\left\{\begin{array}{rcc}x^{2}+y^{2} & \text { se } & x^{2}+y^{2} \leq 1 \\\\ 0 & \text { se } & x^{2}+y^{2}>1\end{array}\right. é contínua em ( 1,0 ).

Passo 1

O enunciado dá a função g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \[g(x,y)=\begin{cases} x^{2}+y^{2}, & \text{se } x^{2}+y^{2}\leq 1,\\[4pt] 0, & \text{se } x^{2}+y^{2}>1. \end{cases}
A pergunta é: a função g\] é contínua no ponto \((1,0)?
Informações relevantes que o enunciado fornece:
(1,0)\quad\text{satisfaz}\quad 1^{2}+0^{2}=1,
ou seja, (1,0) está na fronteira entre as duas regiões da definição (fica exatamente onde x^{2}+y^{2}=1). Não há figura a ser consultada.]

Passo 2

Vamos calcular o valor de g no próprio ponto (1,0). Como 1^{2}+0^{2}=1 e a primeira ramificação da definição vale quando x^{2}+y^{2}\leq 1, temos
g(1,0)=1^{2}+0^{2}=1.

Passo 3

Relembrando a definição que vamos usar (explicada de forma simples): uma função g é contínua em um ponto a se todo caminho que se aproxima de a faz g aproximar-se de g(a). Uma forma prática e rigorosa de testar isso é usar sequências: se existirem duas sequências (x_n,y_n)\to(1,0) tais que as imagens g(x_n,y_n) tenham limites diferentes, então o limite de g(x,y) quando (x,y)\to(1,0) não existe, logo g não é contínua em (1,0). Vou construir exatamente duas sequências com comportamentos distintos.

Passo 4

Construa uma sequência que vem de dentro do disco unitário (ou seja, com x_n^{2}+y_n^{2}<1) e que tende para (1,0). Uma escolha simples é
(x_n,y_n)=\bigl(1-\tfrac{1}{n},\,0\bigr),\qquad n=1,2,3,\dots
Note que (x_n,y_n)\to(1,0) quando n\to\infty. Para cada n temos x_n^{2}+y_n^{2}=(1-\tfrac{1}{n})^{2}<1, então usamos a primeira ramificação da definição e
g(x_n,y_n)=(1-\tfrac{1}{n})^{2}.
Agora calcule o limite dessa sequência de valores:
\lim_{n\to\infty} g(x_n,y_n)=\lim_{n\to\infty}\bigl(1-\tfrac{1}{n}\bigr)^{2}=1.
Portanto, aproximando (1,0) por pontos dentro do disco, os valores de g tendem para 1, que é exatamente g(1,0).

Passo 5

Agora construa uma sequência que venha de fora do disco (ou seja, com x_n^{2}+y_n^{2}>1) e que tenda para (1,0). Uma escolha igualmente simples é
(u_n,v_n)=\bigl(1+\tfrac{1}{n},\,0\bigr),\qquad n=1,2,3,\dots
Temos (u_n,v_n)\to(1,0) quando n\to\infty. Para cada n tem-se u_n^{2}+v_n^{2}=(1+\tfrac{1}{n})^{2}>1, então agora usamos a segunda ramificação da definição e
g(u_n,v_n)=0\quad\text{para todo }n.
Logo
\lim_{n\to\infty} g(u_n,v_n)=0.

Passo 6

Comparando os resultados das duas sequências: aproximando (1,0) por dentro do disco os valores de g tendem para 1, enquanto aproximando por fora os valores de g tendem para 0. Como os limites pelas duas direções/caminhos dão valores diferentes, o limite de g(x,y) quando (x,y)\to(1,0) não existe. Pelo critério da sequência (ou pelo critério das direções), isso significa que g não tem limite igual a g(1,0) quando nos aproximamos do ponto, portanto g não é contínua em (1,0).
Se você preferir ver em forma de uma pequena contradição epsilon-delta: escolha \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Para qualquer \delta>0 existem pontos dentro da bola B_\delta((1,0)) vindo do interior (onde g está próximo de 1) e pontos vindo do exterior (onde g=0). Assim não existe \delta tal que |g(x,y)-1|<\tfrac{1}{2} para todos (x,y) com \|(x,y)-(1,0)\|<\delta. Isso confirma a descontinuidade de forma alternativa.

Resposta

Não; g não é contínua em (1,0).

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