Exemplo 1.34. Discuta a convergência da sequência ( x_{n} ), nos seguintes casos:
x_{n}=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right).

Passo 1

O enunciado pede que eu discuta a convergência da sequência \bigl(x_{n}\bigr) dada por
x_{n}=\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right),
para n\in\mathbb{N}.
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de cada termo da sequência e que n tende a infinito quando estudamos convergência. As perguntas implícitas que preciso responder são: (i) a sequência converge? (ii) se converge, qual é o limite? (iii) posso dizer algo sobre monotonicidade e limites superior/inferior?

Passo 2

Vamos ver primeiro o sinal dos termos: para todo n\in\mathbb{N} temos \frac{1}{n}>0, então 1+\frac{1}{n}>1. Como a função \ln é estritamente crescente e \ln(1)=0, obtemos
x_{n}=\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)>0.
Portanto todos os termos da sequência são positivos. Isso já me dá uma fronteira inferior natural: x_{n}>0 implica que a sequência é limitada inferiormente por 0.

Passo 3

Agora vou mostrar que a sequência é decrescente (ou seja, x_{n+1}\le x_{n} para todo n grande o suficiente). Para isso considero a função
f(x)=\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right),
definida para x>0. Vou calcular sua derivada para verificar monotonicidade. Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^{2}},
e
f'(x)=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right).
Simplificando o fator \frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{x}{x+1}, temos
f'(x)=-\frac{x}{x+1}\cdot\frac{1}{x^{2}}=-\frac{1}{x(x+1)}.
Como x>0, segue que f'(x)<0 para todo x>0. Logo f é estritamente decrescente em (0,\infty). Em particular, para inteiros n\ge1 temos
x_{n}=f(n) \quad\text{e}\quad x_{n+1}=f(n+1),
com f(n+1)<f(n). Portanto a sequência \bigl(x_n\bigr) é decrescente.

Passo 4

Já tenho que a sequência é decrescente e que é limitada inferiormente por 0. Um teorema básico sobre sequências (teorema da convergência monotônica) diz que toda sequência monotônica e limitada converge. Aplicando isso, concluo que a sequência \bigl(x_n\bigr) converge a algum limite L\in[0,\infty). Agora preciso determinar qual é esse L.

Passo 5

Para encontrar o limite, uso uma desigualdade clássica para a função logaritmo: para todo x>-1 vale
\ln(1+x)\le x.
Vou demonstrar essa desigualdade de forma simples. Defina g(x)=x-\ln(1+x). Temos g(0)=0 e
g'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}.
Para x>-1 (especialmente para x>0) temos g'(x)\ge0, ou seja, g é crescente e portanto g(x)\ge g(0)=0. Isso significa x-\ln(1+x)\ge0, ou seja \ln(1+x)\le x. Aplicando essa desigualdade com x=\frac{1}{n} (que satisfaz x>0), obtemos
0<\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\le\frac{1}{n}.
Agora uso o Teorema do Confronto (squeeze): como \frac{1}{n}\to0 quando n\to\infty e x_{n} está “espremido” entre 0 e \frac{1}{n}, segue que
\lim_{n\to\infty} x_{n}=0.
Também poderia argumentar pela continuidade de \ln e pelo fato de \frac{1}{n}\to0, obtendo \lim_{n\to\infty}\ln(1+1/n)=\ln(1+0)=0.

Passo 6

Resumo didático do que foi usado (passo a passo para fazer algo parecido na prova):
  • Verifique o sinal dos termos observando a monotonicidade da função \ln e o valor \ln(1)=0.
  • Para monotonicidade da sequência, transforme em função de variável real f(x)=\ln(1+1/x) e calcule f'(x). Se f'(x) for negativo no domínio, a sequência é decrescente.
  • Use limites conhecidos básicos como \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 e a desigualdade \ln(1+x)\le x (provada por estudar g(x)=x-\ln(1+x)) para aplicar o Teorema do Confronto e determinar o limite numérico.
  • Se quiser confirmar a velocidade de decaimento, observe que \ln(1+1/n)\sim 1/n, visto que \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(1+1/n)}{1/n}=1 (útil como comentário extra, não exigido).

Resposta

A sequência converge para 0. É positiva, decrescente e limitada inferiormente por 0.

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