Exemplo 1.34. Discuta a convergência da sequência (
), nos seguintes casos:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu discuta a convergência da sequência
dada por
para
.
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de cada termo da sequência e que tende a infinito quando estudamos convergência. As perguntas implícitas que preciso responder são: (i) a sequência converge? (ii) se converge, qual é o limite? (iii) posso dizer algo sobre monotonicidade e limites superior/inferior?
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de cada termo da sequência e que
Passo 2
Vamos ver primeiro o sinal dos termos: para todo
temos
, então
. Como a função
é estritamente crescente e
, obtemos
Portanto todos os termos da sequência são positivos. Isso já me dá uma fronteira inferior natural:
implica que a sequência é limitada inferiormente por
.
Passo 3
Agora vou mostrar que a sequência é decrescente (ou seja,
para todo
grande o suficiente). Para isso considero a função
definida para
. Vou calcular sua derivada para verificar monotonicidade. Usando a regra da cadeia:
e
Simplificando o fator
, temos
Como
, segue que
para todo
. Logo
é estritamente decrescente em
. Em particular, para inteiros
temos
com
. Portanto a sequência
é decrescente.
Passo 4
Já tenho que a sequência é decrescente e que é limitada inferiormente por
. Um teorema básico sobre sequências (teorema da convergência monotônica) diz que toda sequência monotônica e limitada converge. Aplicando isso, concluo que a sequência
converge a algum limite
. Agora preciso determinar qual é esse
.
Passo 5
Para encontrar o limite, uso uma desigualdade clássica para a função logaritmo: para todo
vale
Vou demonstrar essa desigualdade de forma simples. Defina
. Temos
e
Para
(especialmente para
) temos
, ou seja,
é crescente e portanto
. Isso significa
, ou seja
. Aplicando essa desigualdade com
(que satisfaz
), obtemos
Agora uso o Teorema do Confronto (squeeze): como
quando
e
está “espremido” entre
e
, segue que
Também poderia argumentar pela continuidade de
e pelo fato de
, obtendo
.
Passo 6
Resumo didático do que foi usado (passo a passo para fazer algo parecido na prova):
- Verifique o sinal dos termos observando a monotonicidade da função
e o valor . - Para monotonicidade da sequência, transforme em função de variável real
e calcule . Se for negativo no domínio, a sequência é decrescente. - Use limites conhecidos básicos como
e a desigualdade (provada por estudar ) para aplicar o Teorema do Confronto e determinar o limite numérico. - Se quiser confirmar a velocidade de decaimento, observe que
, visto que (útil como comentário extra, não exigido).
Resposta
A sequência converge para
. É positiva, decrescente e limitada inferiormente por
.