(Teorema de Gauss) Seja \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}, y^{2}, z^{2}\right) e E o cubo limitado por 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1 e 0 \leq z \leq 1. Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de \vec{F} através da superfície S que limita o cubo descrito.(1 pt)
Passo 1
O enunciado fornece a campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right) e a região E que é o cubo limitado por 0\le x\le1, 0\le y\le1 e 0\le z\le1. A superfície S é a superfície fechada que limita esse cubo. A pergunta do problema é: calcular o fluxo de \vec{F} através da superfície S que limita o cubo descrito. Informações relevantes listadas:
Campo vetorial: \vec{F}(x,y,z)=\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right).
Superfície S é a fronteira de E (superfície fechada). Pressupomos orientação exterior (normal apontando para fora), que é a convenção do Teorema da Divergência.
Objetivo: calcular \displaystyle \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} (o fluxo total através de S).
Passo 2
Apresento o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) que vamos usar. Ele diz o seguinte: para uma região E com fronteira fechada S e para um campo vetorial suficientemente suave \vec{F},
onde F_{1},F_{2},F_{3} são as componentes de \vec{F}. O lado direito é uma integral tripla sobre a região E. Estamos trocando um cálculo de fluxo pela superfície por uma integral de volume — geralmente muito mais simples, especialmente quando E é um cubo.
Passo 3
Calculo a divergência do campo dado. As componentes de \vec{F} são F_{1}=x^{2}, F_{2}=y^{2}, F_{3}=z^{2}. Aplicando a definição:
Cada derivada parcial é simples: \frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x, \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y, \frac{\partial}{\partial z}(z^{2})=2z. Logo
\operatorname{div}\vec{F}=2x+2y+2z.
Passo 4
Usando o Teorema da Divergência, o fluxo pedido é a integral tripla de \operatorname{div}\vec{F} sobre E. Assim
Interpretação rápida: a divergência 2x+2y+2z mede “a fonte” do campo dentro do volume; integrando sobre o cubo deu 3, que é o total que sai através da superfície.