(Teorema de Gauss) Seja \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}, y^{2}, z^{2}\right) e E o cubo limitado por 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1 e 0 \leq z \leq 1. Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de \vec{F} através da superfície S que limita o cubo descrito.(1 pt)

Passo 1

O enunciado fornece a campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right) e a região E que é o cubo limitado por 0\le x\le1, 0\le y\le1 e 0\le z\le1. A superfície S é a superfície fechada que limita esse cubo. A pergunta do problema é: calcular o fluxo de \vec{F} através da superfície S que limita o cubo descrito. Informações relevantes listadas:
  • Campo vetorial: \vec{F}(x,y,z)=\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right).
  • Região: E=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1,\;0\le z\le1\}.
  • Superfície S é a fronteira de E (superfície fechada). Pressupomos orientação exterior (normal apontando para fora), que é a convenção do Teorema da Divergência.
  • Objetivo: calcular \displaystyle \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S} (o fluxo total através de S).

Passo 2

Apresento o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) que vamos usar. Ele diz o seguinte: para uma região E com fronteira fechada S e para um campo vetorial suficientemente suave \vec{F},
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{E}\operatorname{div}\vec{F}\,dV.
Aqui \operatorname{div}\vec{F} é a divergência de \vec{F}, definida como a soma das derivadas parciais das componentes de \vec{F}:
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z},
onde F_{1},F_{2},F_{3} são as componentes de \vec{F}. O lado direito é uma integral tripla sobre a região E. Estamos trocando um cálculo de fluxo pela superfície por uma integral de volume — geralmente muito mais simples, especialmente quando E é um cubo.

Passo 3

Calculo a divergência do campo dado. As componentes de \vec{F} são F_{1}=x^{2}, F_{2}=y^{2}, F_{3}=z^{2}. Aplicando a definição:
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})+\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})+\frac{\partial}{\partial z}(z^{2}).
Cada derivada parcial é simples: \frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x, \frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y, \frac{\partial}{\partial z}(z^{2})=2z. Logo
\operatorname{div}\vec{F}=2x+2y+2z.

Passo 4

Usando o Teorema da Divergência, o fluxo pedido é a integral tripla de \operatorname{div}\vec{F} sobre E. Assim
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{E}(2x+2y+2z)\,dV.
Como E é o cubo [0,1]\times[0,1]\times[0,1], podemos escrever a integral em coordenadas cartesianas com limites 0 a 1 para x,y,z:
\iiint_{E}(2x+2y+2z)\,dV=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(2x+2y+2z)\,dx\,dy\,dz.

Passo 5

Vamos separar a integral em três integrais (linearidade da integral):
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(2x+2y+2z)\,dx\,dy\,dz =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2x\,dx\,dy\,dz +\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2y\,dx\,dy\,dz +\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2z\,dx\,dy\,dz.
Calculo cada parcela. Para a primeira:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2x\,dx\,dy\,dz =\left(\int_{0}^{1}2x\,dx\right)\left(\int_{0}^{1}dy\right)\left(\int_{0}^{1}dz\right).
Aqui usei o fato de que o integrando é produto de função em x com funções constantes em y,z, então a integral fatoriza. Agora calcule:
\int_{0}^{1}2x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1} = \frac{2\cdot1^{2}}{2}-0 = 1.
E \int_{0}^{1}dy=1, \int_{0}^{1}dz=1. Portanto a primeira parcela vale 1.
Por simetria (ou repetindo o mesmo cálculo trocando variáveis), as outras duas parcelas também valem 1. Explicitamente:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2y\,dx\,dy\,dz = 1, \qquad \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2z\,dx\,dy\,dz = 1.

Passo 6

Somando as três parcelas obtemos o fluxo total:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=1+1+1=3.
Interpretação rápida: a divergência 2x+2y+2z mede “a fonte” do campo dentro do volume; integrando sobre o cubo deu 3, que é o total que sai através da superfície.

Resposta

3

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