Exemplo 63. Seja f(x, y, z)=\frac{x z}{x^{2}+y^{2}+1}. Determine a direção de maior variação de f em P=(1,0,-1).
Exemplo 64. Uma empresa fabrica e vende os produtos A e B, em quantidades x e y respectivamente. Sabe-se que ambos os produtos são produzidos com a mesma matéria prima e a quantidade de matéria prima em estoque é de f(x, y)=-(x-2)^{2}-(y-1)^{2}+10. Admitindo que agora etão sendo produzidas 5 unidades do produto A e 3 unidades do produto B, determine a reta de escolhas para ( x, y ) de modo a maximizar o estoque em menos tempo.

Passo 1

Exemplo 63: temos a função \displaystyle f(x,y,z)=\frac{xz}{x^{2}+y^{2}+1} e o ponto P=(1,0,-1). A pergunta é: determinar a direção de maior variação de f em P.
Exemplo 64: temos a função estoque \displaystyle f(x,y)=-(x-2)^{2}-(y-1)^{2}+10 e a situação atual (x,y)=(5,3). A pergunta é: determinar a reta de escolhas para (x,y) de modo a maximizar o estoque no menor tempo (ou seja, seguir a direção que aumenta f mais rapidamente a partir de (5,3)).

Passo 2

Explicação do método (ideia principal que vou usar). Quando queremos saber em qual direção uma função aumenta mais rápido num ponto, usamos o gradiente. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais e aponta na direção de maior crescimento instantâneo da função. Mais especificamente:
\text{o vetor gradiente } \nabla f(p)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(p),\frac{\partial f}{\partial y}(p),\frac{\partial f}{\partial z}(p)\right)
em 3D, e análogo em 2D. A direção de maior variação é a direção do vetor \nabla f(p); se pedirem a direção unitária, normalizamos \nabla f(p) dividindo pelo seu comprimento.

Passo 3

Resolver Exemplo 63: cálculo das derivadas parciais. Vou usar a regra do quociente para \displaystyle f(x,y,z)=\frac{N}{D} com N=xz e D=x^{2}+y^{2}+1. A regra do quociente diz:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{N}{D}\right)=\frac{(\partial_x N)D - N(\partial_x D)}{D^2},
e análogo para \partial_y,\partial_z. Calculo cada peça:
\partial_x N = z,\qquad \partial_x D = 2x,
\partial_y N = 0,\qquad \partial_y D = 2y,
\partial_z N = x,\qquad \partial_z D = 0.

Passo 4

Continuando Exemplo 63: aplicar a fórmula do quociente para cada parcial.
Para \partial_x f:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{z\,(x^{2}+y^{2}+1) - xz\,(2x)}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}} = \frac{z\bigl(x^{2}+y^{2}+1 - 2x^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}} = \frac{z(-x^{2}+y^{2}+1)}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}}.
Para \partial_y f:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{0\cdot D - xz\cdot 2y}{D^{2}} = -\frac{2xyz}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}}.
Para \partial_z f:
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{x\,(x^{2}+y^{2}+1) - xz\cdot 0}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}} = \frac{x}{x^{2}+y^{2}+1}.

Passo 5

Avaliar o gradiente em P=(1,0,-1). Primeiro calcule o denominador comum:
x^{2}+y^{2}+1 = 1^{2}+0^{2}+1 = 2.
Agora as parciais em P:
\frac{\partial f}{\partial x}(P) = \frac{z(-x^{2}+y^{2}+1)}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}} = \frac{(-1)(-1+0+1)}{2^{2}} = \frac{(-1)\cdot 0}{4}=0,
\frac{\partial f}{\partial y}(P) = -\frac{2xyz}{(x^{2}+y^{2}+1)^{2}} = -\frac{2\cdot 1\cdot 0\cdot (-1)}{4}=0,
\frac{\partial f}{\partial z}(P) = \frac{x}{x^{2}+y^{2}+1}=\frac{1}{2}.
Logo o gradiente em P é
\nabla f(P)=\left(0,\,0,\,\tfrac{1}{2}\right).

Passo 6

Interpretação e normalização (Exemplo 63). O vetor gradiente \nabla f(P)=(0,0,\tfrac{1}{2}) aponta na direção de maior aumento. Para obter a direção unitária dividimos pelo comprimento:
\|\nabla f(P)\|=\sqrt{0^{2}+0^{2}+(\tfrac{1}{2})^{2}}=\tfrac{1}{2}.
A direção unitária é
\frac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|}=\frac{(0,0,\tfrac{1}{2})}{\tfrac{1}{2}}=(0,0,1).
Portanto a direção de maior variação é a direção positiva do eixo z. O valor máximo do coeficiente direcional (derivada direcional máxima) nesse ponto é \|\nabla f(P)\|=\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Resolver Exemplo 64: primeiro identifique a função e o ponto. A função é
f(x,y)=-(x-2)^{2}-(y-1)^{2}+10,
e o ponto atual é (x,y)=(5,3). Queremos a reta de escolhas (um caminho retilíneo no espaço (x,y)) que, ao partir de (5,3), aumenta f o mais rápido possível.

Passo 8

Calcular o gradiente em 2D e interpretar. Derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} = -2(x-2), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -2(y-1).
O gradiente é
\nabla f(x,y)=\bigl(-2(x-2),\,-2(y-1)\bigr).

Passo 9

Avaliar o gradiente em (5,3):
\frac{\partial f}{\partial x}(5,3) = -2(5-2) = -6,
\frac{\partial f}{\partial y}(5,3) = -2(3-1) = -4.
Logo
\nabla f(5,3)=(-6,-4).
Esse vetor aponta na direção de crescimento mais rápido a partir de (5,3). Se quisermos a reta de escolhas, usamos a reta que passa por (5,3) com direção (-6,-4).

Passo 10

Escrever a reta paramétrica (Exemplo 64). A reta de escolhas (paramétrica) é
(x(t),y(t))=(5,3)+t(-6,-4),
ou explicitamente
x=5-6t,\qquad y=3-4t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Observação prática: o vetor de direção pode ser simplificado dividindo por 2 para (-3,-2), então outra forma equivalente é
(x,y)=(5,3)+s(-3,-2),\; s\in\mathbb{R}.
Note que para t=\tfrac{1}{2} obtemos (x,y)=(2,1), que é o ponto onde o estoque atinge o máximo global (centro do paraboloide), então seguindo essa linha chegamos ao máximo.

Resposta

Exemplo 63: direção de maior variação em P é o vetor unitário (0,0,1).
Exemplo 64: reta de escolhas que maximiza o estoque a partir de (5,3):
(x,y)=(5,3)+t(-6,-4),\ t\in\mathbb{R}\quad\text{(equivalente a }x=5-6t,\ y=3-4t\text{)}.

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