Exemplo 63. Seja
. Determine a direção de maior variação de
em
.
Exemplo 64. Uma empresa fabrica e vende os produtos
e
, em quantidades
e
respectivamente. Sabe-se que ambos os produtos são produzidos com a mesma matéria prima e a quantidade de matéria prima em estoque é de
. Admitindo que agora etão sendo produzidas 5 unidades do produto
e 3 unidades do produto
, determine a reta de escolhas para (
) de modo a maximizar o estoque em menos tempo.
Passo 1
Exemplo 63: temos a função
e o ponto
. A pergunta é: determinar a direção de maior variação de
em
.
Exemplo 64: temos a função estoque
e a situação atual
. A pergunta é: determinar a reta de escolhas para
de modo a maximizar o estoque no menor tempo (ou seja, seguir a direção que aumenta
mais rapidamente a partir de
).
Passo 2
Explicação do método (ideia principal que vou usar). Quando queremos saber em qual direção uma função aumenta mais rápido num ponto, usamos o gradiente. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais e aponta na direção de maior crescimento instantâneo da função. Mais especificamente:
em 3D, e análogo em 2D. A direção de maior variação é a direção do vetor
; se pedirem a direção unitária, normalizamos
dividindo pelo seu comprimento.
Passo 3
Resolver Exemplo 63: cálculo das derivadas parciais. Vou usar a regra do quociente para
com
e
. A regra do quociente diz:
e análogo para
. Calculo cada peça:
Passo 4
Continuando Exemplo 63: aplicar a fórmula do quociente para cada parcial.
Para :
Para
Para
:
Para
:
Passo 5
Avaliar o gradiente em
. Primeiro calcule o denominador comum:
Agora as parciais em
:
Logo o gradiente em
é
Passo 6
Interpretação e normalização (Exemplo 63). O vetor gradiente
aponta na direção de maior aumento. Para obter a direção unitária dividimos pelo comprimento:
A direção unitária é
Portanto a direção de maior variação é a direção positiva do eixo
. O valor máximo do coeficiente direcional (derivada direcional máxima) nesse ponto é
.
Passo 7
Resolver Exemplo 64: primeiro identifique a função e o ponto. A função é
e o ponto atual é
. Queremos a reta de escolhas (um caminho retilíneo no espaço
) que, ao partir de
, aumenta
o mais rápido possível.
Passo 8
Calcular o gradiente em 2D e interpretar. Derivadas parciais:
O gradiente é
Passo 9
Avaliar o gradiente em
:
Logo
Esse vetor aponta na direção de crescimento mais rápido a partir de
. Se quisermos a reta de escolhas, usamos a reta que passa por
com direção
.
Passo 10
Escrever a reta paramétrica (Exemplo 64). A reta de escolhas (paramétrica) é
ou explicitamente
Observação prática: o vetor de direção pode ser simplificado dividindo por
para
, então outra forma equivalente é
Note que para
obtemos
, que é o ponto onde o estoque atinge o máximo global (centro do paraboloide), então seguindo essa linha chegamos ao máximo.
Resposta
Exemplo 63: direção de maior variação em
é o vetor unitário
.
Exemplo 64: reta de escolhas que maximiza o estoque a partir de
: