Sejam S_{1} e S_{2} as superfícies definidas por x^{2}-y^{2}+z^{2}=1 e x y+x z=2, respectivamente. Determine a equação geral do plano tangente a S_{1} em P= (1,1,1). Determine a equação vetorial da reta tangente à curva de intersecção de S_{1} e S_{2} em P=(1,1,1). Resposta: x-y+z=1 e (1-2 t, 1+t, 1+3 t).
Encontre um ponto onde o plano tangente à superfície z=x^{2} y^{2}+2(x-y) é horizontal. Resposta: (-1,1,-3).
Passo 1
Problema 3: Nos deram as superfícies S_{1} e S_{2} definidas por
S_{1}:\;x^{2}-y^{2}+z^{2}=1,
S_{2}:\;x y + x z = 2,
e o ponto P=(1,1,1). Pedidos:
Determinar a equação geral do plano tangente a S_{1} em P.
Determinar a equação vetorial da reta tangente à curva de interseção S_{1}\cap S_{2} em P.
Problema 4: Nos deram a superfície
z = x^{2} y^{2} + 2(x-y).
Pedido: encontrar um ponto onde o plano tangente à superfície é horizontal.
As informações relevantes já estão acima: as equações das superfícies e o ponto P para o problema 3; para o problema 4 temos a função z=f(x,y) explícita.
Passo 2
Tangent plane to a level surface — ideia e fórmula (aula rápida e prática).
Se uma superfície é dada como uma equação de nível \Phi(x,y,z)=0, o vetor gradiente \nabla\Phi=(\Phi_x,\Phi_y,\Phi_z) no ponto é perpendicular (normal) à superfície nesse ponto. O plano tangente em P=(x_0,y_0,z_0) tem então equação
Aqui \Phi_x significa a derivada parcial de \Phi em relação a x, etc. Isso funciona porque a derivada parcial mede a inclinação na direção de cada eixo; o gradiente junta essas informações e aponta na direção de máxima variação — logo é normal ao nível.
Montando a equação do plano tangente usando a fórmula do passo 2:
(2,-2,2)\cdot\big((x,y,z)-(1,1,1)\big)=0.
Desenvolvendo o produto escalar:
2(x-1)-2(y-1)+2(z-1)=0.
Podemos dividir toda a equação por 2 (não muda o plano):
(x-1)-(y-1)+(z-1)=0.
Reorganizando os termos obtemos a forma final
x - y + z = 1.
Pronto: é a equação do plano tangente a S_{1} em P.
Passo 5
Agora a reta tangente à curva de interseção S_{1}\cap S_{2} em P.
Ideia: a curva de interseção é simultaneamente parte das duas superfícies, então seu vetor tangente em P é ortogonal a ambos os vetores normais das superfícies em P. Assim, uma direção para a reta tangente é o produto vetorial (cross product) dos dois vetores normais: \mathbf{v} = \nabla\Phi_1(P)\times\nabla\Phi_2(P).
Passo 6
Calcule o gradiente de S_{2}. Defina
\Psi(x,y,z) = x y + x z - 2,
então S_{2} é \Psi(x,y,z)=0. As parciais são
\Psi_x = y+z,\qquad \Psi_y = x,\qquad \Psi_z = x.
No ponto P=(1,1,1) temos
\nabla\Psi(1,1,1) = (1+1,\;1,\;1) = (2,1,1).
Passo 7
Agora compute o produto vetorial entre \nabla\Phi(1,1,1)=(2,-2,2) e \nabla\Psi(1,1,1)=(2,1,1).
Use a fórmula do determinante para o cross product:
Calcule cada componente passo a passo:
componente \mathbf{i}: (-2)\cdot1 - 2\cdot1 = -2-2=-4.
componente \mathbf{j}: 2\cdot1 - 2\cdot2 = 2-4=-2, lembrando que o sinal do termo médio troca, então fica -(-2)=+2 ao montar o vetor final. (Aqui estou seguindo a regra do sinal do cofator.)
componente \mathbf{k}: 2\cdot1 - (-2)\cdot2 = 2 - (-4) = 6.
Portanto o produto vetorial é
(-4,\;2,\;6).
Podemos simplificar dividindo por 2 para obter um vetor direção mais simples:
\mathbf{v} = (-2,\,1,\,3).]
Passo 8
Equação vetorial da reta tangente: a reta que passa por P=(1,1,1) e tem vetor direção \mathbf{v}=(-2,1,3) é dada por
Agora vamos ao problema 4 — conceito: plano tangente horizontal para z=f(x,y).
Se z=f(x,y) é uma superfície dada explicitamente, o plano tangente naquele ponto tem inclinações nas direções x e y dadas por f_x e f_y. O plano é horizontal (paralelo ao plano xy) quando as inclinações são zero, isto é quando
f_x(x,y)=0\quad\text{e}\quad f_y(x,y)=0.
Isso significa que, localmente, a superfície não sobe nem desce em qualquer direção no plano xy.
Passo 10
Aplique isso à função f(x,y)=x^{2}y^{2}+2(x-y).
Calcule as derivadas parciais:
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{2}+2(x-y)\big) = 2x^{2} y - 2.
Iguale ambas a zero:
2x y^{2} + 2 = 0,\qquad 2x^{2} y - 2 = 0.
Dividindo cada equação por 2 para simplificar:
x y^{2} = -1,\qquad x^{2} y = 1.
Passo 11
Resolva o sistema
x y^{2} = -1,\qquad x^{2} y = 1.
Da segunda equação obtemos y = \dfrac{1}{x^{2}} (desde que x\neq 0; se x=0 a segunda equação não se satisfaz porque daria 0=1, então x\neq0). Substitua esse y na primeira:
Portanto o ponto onde o plano tangente é horizontal é (-1,1,-3). (Verificação rápida: substituindo x=-1,y=1 nas parciais do passo 10 dá f_x=2(-1)\cdot1^{2}+2= -2+2=0 e f_y=2(-1)^{2}\cdot1-2=2-2=0, confirmado.)